2020年数学中考压轴题专项训练：圆的综合
1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与⊙O相切； （2）解：连接OE，ED，
∵∠BAC＝60°，OE＝OA， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°，
又∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO，
∴四边形OAED是菱形， ∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM， ∴S△AED＝S△AOD，
∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝
2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．
＝π．
（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝∠BCE， ∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接BD，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴
＝
，
∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形， ∴AB＝
AD＝4，
∵BC＝3， ∴AC＝
＝
＝
．
3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
（1）证明：连接OE． ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵∠DAE＝∠OAE， ∴∠OEA＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴∠ADC＝∠OEC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， 故∠OEC＝90°． ∴OE⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝45°， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°， ∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝
2×2﹣
＝2﹣
．
4．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交
AD、AC于点F、G．