中国矿业大学徐海学院 《高等数学》优秀课程建设---历年试题集
解:特征方程为r2?3r?2?0,得特征根r1?1,r2?2, 所以对应的齐次方程的通解为Y?C1ex?C2e2x,
从而2为特征方程的单根,可令非齐次方程的特解为
y?x(ax?b)e2x,其中a,b为待定常数,代入到原方程中,可得
a?12,b??1,
所以非
x齐
2x次
?x(12微分
2x方
程通解为
y?Y?y?C1e?C2ex?1)e四、应用题(每题10分,共20分)
221、 求旋转抛物面z?x?y与平面x?y?2z?2之间的最短距离.解:抛物面z?x2?y2即x2?y2?z?0上点(x,y,z)到平面
x?y?2z?2的距离
2为
?y?d?x?y?2z?21?1?(?2)22,
2令
L(x,?y,?z,??)?x(?2z?22, )2x(yz)令
??L??x?2(x?y?2z?2)?2x??0???L?2(x?y?2z?2)?2y??0???y???L?2(x?y?2z?2)(?2)???0??z??L22??(x?y?z)?0????14,z?18 解方程组,得
x?y?,
1?14?14?2?7624所以dmin?164
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2、试计算椭球体
xa22?yb22?xazc2222?1的体积V. yb22解:V????1?dv,其中?:???zc22?1,
222222易见?介于z??c与z?c之间,D(z):c?ccxa?yb22?1?zc
故V????1?dv???dz??D(z)dxdy??ab?(1??czc)dz?43?abc
(三重积分的先二后一法)
中国矿业大学徐海学院2007-2008学年第二学期
《高等数学》试卷(理工类)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1. 微分方程y??2xy的通解是____________________________。 2.
二
元
函
数
z?xlxn?y()的定义域为
_____________________________________。 3.设z?xexy,则
?z?x?_____________________________________。
4.过点(1,2,-1)且垂直于平面3x?2y?z?4?0的直线方程是 ___________________________________________。
325. 曲线x?t,y?t,z?t在t??1处的法平面方程为-----
二、选择题(每小题3分,共15分)
1. 设二重积分的积分区域D是x?y?a
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222(a?0),则
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??D。 (xy?2)dxdy?( )
32A. 0 B. πa2 C. 2πa2 D. 2 ?z2?5x2.曲线?绕x轴旋转所形成的旋转面方程是( )。
?y?0A. z2??5x2?y2 B. z2?5x2?y2 C. y2?z2?5x D. z2?5x2
?3.对于级数?[n?1(?1)npn?1n3?p。 ],下列结论正确的是( )
A. 当p?0时,级数收敛 B. 当p