淮南师范学院2012届本科毕业论文
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C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择a0和b0，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即a0和b0尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数?j,k(t)和离散小波系数Cj,k就越少，信号重构的精确度也就会越低。 2.2.3小波包分析
短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q结构）。小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。
关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图
AAA3 S A1 AA2 DAA3 ADA3 DA2 DDA3 AD2 AAD3 DAA3 D1 DD2 ADD3 DDD3 图1小波包分解树
图1中，A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树（也即尺度数）。分解具有关系：
S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAA3+ADD3+DDD3
3小波分析在图像处理中的应用 3.1小波分析用于图像压缩
基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，驱除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤掉次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在我们比较关心时域特性的时候显得无能为力。
但是这种应用的需求是很广泛的，比如遥感测控图像，要求在整幅图像有很高压缩
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比的同时，对热点部分的图像要有较高的分辨率，例如医疗图像，需要对某个局部的细节部分有很高的分辨率，单纯的频域分析的方法显然不能达到这个要求，虽然可以通过对图像进行分快分解，然后对每块作用不同的阈值或掩码来达到这个要求，但分块大小相对固定，有失灵活。
在这个方面，小波分析就优越的多，由于小波分析固有的时频特性，我们可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对我们感兴趣的部分提供不同的压缩精度。
对于图像压缩我们可以用二维小波来分析。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。小波分析用于图像压缩具有明显的优点。
下面给出一个图像信号（即一个二维信号，文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率（即高频）子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。图像压缩可按如下程序进行处理。
在matlab界面中输入如下代码 load wbarb;
subplot(221);image(X);colormap(map) title('原始图像'); axis square
disp('压缩前图像X的大小：'); whos('X')
[c,s]=wavedec2(X,2,'bior3.7');%对图像用bior3.7小波进行2层小波分解 ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1); ch1=detcoef2('h',c,s,1); cv1=detcoef2('v',c,s,1);
cd1=detcoef2('d',c,s,1); %提取小波分解结构中第一层低频系数和高频系数 a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1); h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);
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v1=wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);
d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);%分别对各频率成分进行重构 c1=[a1,h1;v1,d1];
subplot(222);image(c1); %显示分解后各频率成分的信息 axis square
title('分解后低频和高频信息'); %下面进行图像压缩处理
%保留小波分解第一层低频信息，进行图像的压缩 %第一层的低频信息即为ca1，显示第一层的低频信息 %首先对第一层信息进行量化编码 ca1=appcoef2(c,s,'bior3.7',1); ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0); ca1=0.5*ca1; %改变图像的高度
subplot(223);image(ca1);colormap(map); axis square
title('第一次压缩');
disp('第一次压缩图像的大小为：'); whos('ca1')
%保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大 %第二层的低频信息即为ca2，显示第二层的低频信息 ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);
ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);%首先对第二层信息进行量化编码 ca2=0.25*ca2;%改变图像的高度
subplot(224);image(ca2);colormap(map); axis square
title('第二次压缩');
disp('第二次压缩图像的大小为：'); whos('ca2')
按enter键输出结果如下：
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压缩前图像X的大小：
Name Size Bytes Class X 256x256 524288 double array Grand total is 65536 elements using 524288 bytes 第一次压缩图像的大小为：
Name Size Bytes Class ca1 135x135 145800 double array Grand total is 18225 elements using 145800 bytes 第二次压缩图像的大小为：
Name Size Bytes Class ca2 75x75 45000 double array Grand total is 5625 elements using 45000 bytes
图2 图像压缩
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