电 磁 场 作 业 答 案
为
?s1E?ds?2E1S1??dS1 ?0?d 2?0可得在区域（1）和（3）中，电场强度 E1?对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面S2，据高斯通量定理，电场强度在S2上的通量为 E1S2?E2S2?得 E2??x?x?d??d??E1????x?? ?0?02?0?0?2??xS2， ?0题2.15图
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2.16平行板电容器的极板面积S=400（厘米），间距d=0.5(厘米)，中间的一半是玻璃??r?7?，
另一半是空气??r?1?，如题2.16图所示。已知玻璃和空气的击穿场强分别是90（千伏/厘米）和30（千伏/厘米），问极板间电压为U=10（千伏）时，电容器是否会被击穿？
解：设两极板间电场的方向沿ed方向（正极板指向负极板，除去边界效应）。由边界条件得 D1n?D2n 玻璃介质中电位移矢量 D1??1E1en 空气介质中电位移矢量 D2??2E2en
即 D1n??1E1en?D2n??2E2en （1） 又由于 U?E1dl?E2dl?E1d?E2d （2）
0022d/2d/2εr=1εr=70.25cm0.25cmU=10KV 题2.16图 ?1?求解方程（1）和（2）电场强度是 E??12?1U2?2Uen 和 E2??en
(?1??2)d(?1??2)d将?1??1r?0?7?0、?2??2r?0??0和U=10（千伏）代入上式得
E1=35（千伏/厘米）；E2=5（千伏/厘米）
所以，当极板间电压为10（千伏）时，在玻璃中和空气中的场强分别是35（千伏/厘米）和5（千伏/厘米），空气层要被击穿，10千伏的电压全加在玻璃层上，仍小于玻璃的击穿场强。因此电容器不会完全击穿。
2.17 简述静电场方程及其物理意义
答：??E?r??0 表明静电场是一个无旋场。
??D?? 介质中某点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷的体密度。 2.18简述静电场的边界条件
答：场量由一种介质进入另一种介质时，在两种不同介质分界面上场量要发生变化，场量发生变化规律称为边界条件。
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电场强度的边界条件 E1t?E2t 在两种介质形成的边界上，分界面上的电场强度切向分量相等，说明切线方向的电场强度是连续的。
q电位移矢量的边界条件 D1n?D2n?? 说明，如果两种媒质的分界面上有一层自由?S??sf电荷，则D的法向分量是不连续的。1．假设有两种媒质如果一种是导体，另一种媒质是电介质。则D1n??sf 2．假设有两种媒质都是电介质，而且分界面上没有自由面电荷，则D1n?D2n电位的边界条件 ?1??2 说明分界面两侧的电位是连续的。 2.19简述电容的概念
答：当两导体在几何形状，导体相互位置和导体之间的介质一定的情况下，导体所带电荷与两导体之间的电压成正比，比例系数称为电容。 即 q?UC
多导体系统又分为自有电容和互有电容。自有电容是导体对地具有的电容。互有电容是多导体之间具有的的电容。
2.20 球形电容器内导体极板半径为R1，外导体极板半径为R2，极板间充满介电常数为?的电介质。求电容器的电容。
解：设球形电容器内导体电极上的分别带有电荷?q，则在极间介质中的电场强度为
E?q4??r2，极间电压为
U??R2R1Edr?q?11?q?R2?R1?因此 ?????4????R1R2?4??R1R2
C?q4??R1R2?UR2?R1
2.21如何计算电场能量？
答：可以根据带电体上的电位和电量进行计算，也可以根据电场的能量密度进行计算，即
111111q2 2We?q?1?(?q)?2?q(?1??2)?qU?CU??222222CWe?11D?Ed????E2d? ?2?2?2.22 内、外两个半径分别为a、b的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为
?0，当内、外电极上的电荷分别为?q时，求电容器内储存的静电场能量。
解：如题2.22图建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为
E?q4??0r2，D?q4?r2，
则极板间的电场能量
1?q?111?q?4?2W?????4?4?rdr????a2?4???0r2?4???0?b22?drq2?11? ????2ar8??0?ab?b第3章 静电场问题的解法
题2.22图
3.1简述求解静电场问题是如何分类的？如何求解他们问题？
答：静电场问题总的来说可分为两种类型：分布型问题和边值型问题。静电场问题不论是分布型问题还是边值型问题的解法又可分为解析法和数值法。解析法的解是一种数学表达式，其解是精确解。解析法包括分离变量法、镜像法、复变函数法等。用公式求解的方法均为解
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析法。数值法的解则是直接计算得到的一组数值，其解是近似解。数值法包括有限差分法、有限元法等。
3.2简述分布型问题的求解方法？ 答：分布型问题是已知电荷或带电体的分布求场量的问题。计算方法有三种方法：高斯定理、电场强度、电位方法。计算时如果电场对称首先考虑高斯定理，其次是电位方法。 3.3边值型问题是如何分类的？
答：边值型问题是已知电场中所有不同媒质分界面(这里主要是指导体与电介质的分界面)上的边界条件（电位函数的变化率）或不同媒质分界面的电位，求解电场中场量问题。边值问题又分为三种类型。第一类边值问题（又称为狄里赫利问题）。是已知电场内部电荷的分 布和给定不同分界面上的电位，即给定?s??(s) 求解电场中场量的问题。
第二类边值问题（又称为诺埃曼问题）。是已知电场内部电荷的分布和所有导体表面上边界条件(实际上是已知导体上的面电荷密度)，即给定?sf??????n 求解电场中场量的问题。
第三类边值问题(又称为混合型边值问题) 。是在已知电场内部电荷的分布下，已知一部分导体上的电位和另外一部分导体表面上电位函数的法向导数，即给定?s??(s) 和
?sf??????n 求解电场中场量的问题。
3.5长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上面盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解：根据题意，电位.?(x,y)?满足的边界条件为：
1...?(0,y)??(a,y)?0 2...?(x,0)?03....?(x,b)?U0根据条件1和2，电位.?(x,y)?的通解应取为
?(x,y)??Asinh??sin??
nn?yan?yan?1?由条件得U0??Asinh??sin??
nn?ban?xan?1004U0n?sinh(n?b/a)?a(n?1,3,5)2U2U?x所以 An?asinh( sin(na)ddx?n?sinh(n?b/a)(1?cosn?)???0(n?2,4,6)n?b/a)?0?故得到槽内的电位分布：?(x,y)?4U?01nsinh(n?b/a)n?1,3,5??sinh??sin??
n?yan?xa3.6简述镜像法的原理及其应用
答：镜象法是用一个虚拟的带电体（点电荷或线电荷）代替实际场源电荷在导体上的感应出来的电荷，用来计算由原电荷和感应电荷共同产生的合成电场。这些虚拟的电荷称为镜象电
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荷。在使用镜像法时镜像电荷不能破坏原电荷和感应电荷产生的电场，边界条件保持不变，如果是两个平面还应该满足其夹角为??180，而n又为整数时，最后的镜象电荷才可能与原
n0电荷重合在一起，即镜象电荷的总数为有限的（2n-1）个。
3.7一无限大导体平面折成90角，角域内有一点电荷q位于(x0，y0)点，如图3.7题所示。用镜象法求角域内任意点的电位，电场强度及电荷q所受力(标出镜象电荷的位置和数（x，y）值)。
解：三个镜象电荷坐标分别是：q（??q、q（?q、1x1?-x，y1?y）2x2?-x，y2??y）q（??q 3x3?x，y3??y）Nqi 电位 ??r??1?4??0i?1r?ri?Y。
q（2,3）??r??14??014??0q(x-x0)2?(y-y0)2q(x-x2)?(y-y2)N22-14??0?14??0q(x-x1)2?(y-y1)2q(x-x3)?(y-y3)22
0x? 题3.7图 qi(r?r) 电场强度 E?r??1?4??0i?1r?ri?3E?r?r0qr?r1qr?r2qr?r3
???4??0|r?r0|34??0|r?r1|34??0|r?r2|34??0|r?r3|3qq(x?x0)ex?(y?y0)ey?(z?z0)ez32E??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|000(x?x2)ex?(y?y2)ey?(z?z2)ez??q(x?x1)ex?(y?y1)ey?(z?z1)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32 111q4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32222??q(x?x3)ex?(y?y3)ey?(z?z3)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|323333 电荷所受力 F?q1r0?r1q?q2r0?r2q?q3r?0rq3334??0|r0?r1|4??0|r0?r2|4??0|r0?r3|
?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ezq2(x0?x2)ex?(y0?y2)ey?(z0?z2)ezF??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|324??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32 010101020202?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ez?4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|320303033.8一个电荷量q为，质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。
求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。
‘解：将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的
‘作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q??q，位于导体平面上方h处，则小带电体受到的
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