电 磁 场 作 业 答 案
第1章 矢 量 分 析
1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？
答：如果在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。
如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。
如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。
如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。
如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。
1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？
答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。
如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。
一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。 如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。
矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。即模值为1的矢量称为单位矢量 1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？
答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。构成的曲面，称为等值面。例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。
描述等值面的方程称为等值面方程。假定u?x,y,z?是坐标变量的连续可微函数。则等值面方程可表述为 u?x,y,z??C （c为任意常数）
在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。
描述等值线的方程称为等值线方程。假定u?x,y?是坐标变量的连续可微函数。则等值线方程可表述为 u?x,y??C （c为任意常数） 1.4求下列电场的等位线方程 (1) ??xz， (2) ??4 x?y22解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为
⑴ ??c?xz，即 x?c； ⑵ ??4?c 即 x2?y2?4?k （k为常数） zcx2?y2 1
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1.5 求下电场的等值面方程 1）??2221222 ， 2） ?=（x-x0)?(y?y0)?(z-z0) ， 3）?=ln(x+y+z) 22x?y?z2解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为
⑴ ??1 即 x2?y2?z2?1?k2 ?ccx2?y2?z2⑵ ?=（x-x0)2?(y?y0)2?(z-z0)2 ?c 即 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?c2?k2 ⑶ ln?x2?y2?z2??c 即 x2?y2?z2?ec?k2，（k为常数）
1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？
答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。
在任意一个给定点所有方向上方向导数的最大值，称为该点的梯度
梯度是在某一点所有方向导数的最大值；而方向导数是梯度在某一方向上的投影。 1.7求函数u?x2?y2?z2 在点M(0,1,1) 沿l?2ex?ey?ez2 方向的方向导数。
解：在求解方向导数时首先要求出标量函数对坐标轴各变量的变化率，然后求出沿l方向的方向余弦，带入方向导数公式，即 ?u??xxx?y?z222?u??y?x2yx?y?z?u?0?y222?u??zzx?y?z222
在点M(1,0,1) 有 ?u?1l的方向余弦是cos??由式得 ?u?lM0?u1 ??z2112?22?22?13cos??23cos??2 3?112121 ??0????3232321.8求函数u?x2?y2?z2 在点M(0,1,1)的梯度。 解：根据梯度计算公式得
?u?112 ?u?u?u 即
?u??0??ex?ey?ez?x?y?z2221.9什么是矢量线？什么是通量？什么是散度？
答：在矢量场中用一些有向曲线来描述矢量场，如果曲线上每一点的切线方向都表示该点的矢量场的方向，这些曲线称为矢量线。
在矢量场中任意矢量F沿有向曲面S的积分称为矢量F通过该有向曲面S的通量。
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即 ???F?ds??F?n0ds
ss在矢量场F中的任一点P作一包围该点的任意闭合面s，并使s所限定的体积??以任
意方式趋于零时，穿出该闭合面s的通量与 s所限定体积??比值的极限值称为矢量场F在点P的散度，记作divF（读作散度F）。即
divF?lim???0?F?ds?lim?F?nds
ss0?????0??1.10求矢量场中矢量A?xex?yey?2zez 经过点M(1,2,3)的矢量线方程。
解：在矢量场中任意矢量可以表示为A?Axex?Ayey?Azez和矢量方程dx?dy?dz
AxAyAz可得 dx?dy?dz
xy2z解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2
将点M(10., 2.0, 3.0)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3
矢量线方程为 y?2x，z?3x 1.11设s是上半球面x2?y2?z2?a22?z?0?，它的单位法线矢量n0与oz轴的夹角是锐角，求
矢量场r?exx?eyy?ezz 向n0所指的一侧穿过s的通量。[提示：r与n0同指向]
解：根据题意选取球坐标则矢量 r?xex?yey?zez?aer， 而球面上任意微元面积为
dsr?dl?dl?er?r2sin?d?d?er，
因此，根据通量定义可得 ?=?r?dsr??aer?dl?dl?er?ass2?3?20sin?d??d?=2?a3
02?1.12试计算空间矢量场矢量A?(3x?2yz)ex?(y?yz)ey?(xyz?3xz)ez的散度。 解：根据散度在直角坐标系中的表示式 ??A??Ax??Ay??Az
?x?y?z322可得 ??A??Ax??Ay??Az?6x?3y2?z2?xy?6xz
?x?y?z1.13什么是环量？什么是旋度？
答：在矢量场中任意矢量F沿有向闭合曲线的积分称为矢量F沿曲线的环量。
矢量场中矢量F在某一点的旋度是一矢量，其大小是矢量F在该点的最大环量面密度，其方向是环量面密度最大值时面元正法线单位矢量。
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1.14求矢量场A??yex?xey?cez (c为常数）沿下列曲线的环量 (1)圆周x2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）
(2)圆周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系） 解：设圆周包围的曲面为s，则s??R2，据斯托克斯定理，可得
?ex????A?dl???A?ds??1） ??????xlss????y??2rd?rd??2?R200R2?ey??yxez?????ds???2ez?ds ?z?sC??其中 ??A?2ez?ex??2)
??A?dl???A?ds????????xlss????y,ey??yxds?rdrd?
ez??? 2??ds???2ez?ds?2?Rez?z?sC??1.15 试计算空间矢量场矢量A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez的旋度： 解：由 ??A?(?Fz??Fy)e?(?Fx??Fz)e?(?Fy??Fx)e
xyz?y?z?z?x?x?y得 ??A??xz?2yz?ex???2y?yz?3z2?ey?2zez 1.16 试证明 (1)对于标量函数u，有
??2u?2u???u?u?u???2u?2u???2u?2u????????????u?????ex?ey?ez????ex???ey???ez?0 ?????y?x???y?z?y?z???x?z?x?z???x??x?y?x?y?(2) 对于矢量函数A，有
???Az?Ay???Ay?Ax?????Az?Ay???Ax?Az?????(??A)??????e??e???zy??y???x??y??ez???x???y??z?? ?z?z?x??????????22???Ax?Az????Ay?Ax??2Az?Ay?2Ax?2Az?Ay?2Ax???????????x?y??x?z??y?z??x?y??x?z??y?z?0?y??z?x??z??x?y??
第2章 静 电 场
2.1什么是静电场？什么是电荷守恒定律？
答：相对于观察者来说静止不动，其电量也不随时间发生变化的电荷称之为静电荷。静电荷产生的电场称为静电场。静电场是一种不随时间变化的电场。
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