2019-2020学年吉林省吉林市高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(解析版)

∴,

∵B∈(0,π), ∴

(2)∵b2=a2+c2﹣2accosB, ∴28=16+c2﹣4,即c2﹣4c﹣12=0, ∵c>0, ∴c=6, ∴

20.设函数f(x)=sinx﹣1的正零点从小到大依次为x1,x2,……,xn,……,构成数列{xn}. (1)写出数列{xn}的通项公式xn,并求出数列{xn}的前n项和Sn; (2)设

,求sinan的值.

【解答】解:(1)函数f(x)=sinx﹣1的正零点从小到大依次为x1,x2,……,xn,……, xn=2(n﹣1)n+

,n∈N.

==(2)当

n

2k

, ﹣

1

k∈N*

n

2k

k∈N*

时.

21.已知函数f(x)=x3+3x2﹣9x+1. (1)求函数f(x)的单调区间;

(2)当x∈[﹣4,4]时,求函数f(x)的最大值与最小值.

【解答】解:(1)f'(x)=3x2+6x﹣9=3(x2+2x﹣3)=3(x+3)(x﹣1), 当x∈(﹣∞,﹣3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

当x∈(﹣3,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

所以f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣3)、(1,+∞);递减区间是(﹣3,1).

(2)由(1)知,f(x)在区间[﹣4,﹣3],[1,4]上单调递增,在区间[﹣3,1]上单调递减,

所以f(x)极大=f(﹣3)=28,f(x)极小=f(1)=﹣4, 又因为f(﹣4)=21,f(4)=77, 所以f(x)的最大值是77,最小值是﹣4. 22.已知函数f(x)=alnx﹣x2,a∈R.

(1)当a=1时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当x≥1时,f(x)≤0恒成立,求实数a的最大值. 【解答】解:(1)f(x)=lnx﹣x2,

所以切线方程为y+1=﹣(x﹣1),即x+y=0. (2)f(x)≤0,alnx﹣x2≤0

当x=1时,﹣1≤0,不等式恒成立,a∈R; 当x>1时,lnx>0,所以

,k=f'(1)=﹣1,f(1)=﹣1

设为减函数所以

时,g'(x)>0,g(x)为增函数. ,a≤2e.

时,g'(x)<0,g(x)

综上,a≤2e,所以a的最大值是2e. (2)另解:f(x)=alnx﹣x2≤0

当a≤0时,因为lnx≥0,所以不等式恒成立;

当a>0时,f'(x)≤0,f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=﹣1<0,不等式成立. a>0,

f(x)单调递减. 所以

时,f'(x)>0,f(x)单调递增

时,f'(x)<0,

由题意,解得a≤2e.

综上,a≤2e,所以a的最大值是2e.

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