第2讲 立体几何(大题)
热点一 平行、垂直关系的证明
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
例1 如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD.
证明 方法一 (1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
1?1，1，1?. ，0，0?，设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，1,0)，F(1,0,1)，M?O?2??222?11→→
0，－，－?，BA＝(－1,0,0)， OM＝?22??→→→→∴OM·BA＝0，∴OM⊥BA. ∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱，
→
∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量， 且OM?平面BCF，∴OM∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
1→→→→
，－1，0?，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)， ∵DF＝(1，－1,1)，DM＝??2?x－y＋z＝0，→??DF＝0，?n1·?111
由?得?1
→x－y＝0，??DM＝0，?n1·?21111
1，，－?. 令x1＝1，则n1＝?2??2同理可得n2＝(0,1,1).
∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD. →→→→
方法二 (1)OM＝OF＋FB＋BM
1→→1→1→→→1→＝DF－BF＋BA＝(DB＋BF)－BF＋BA 22221→1→1→＝－BD－BF＋BA
2221→→1→1→＝－(BC＋BA)－BF＋BA
2221→1→＝－BC－BF.
22
→→→
∴向量OM与向量BF，BC共面， 又BF，BC?平面BCF，OM?平面BCF， ∴OM∥平面BCF.
(2)由题意及(1)知，BF，BC，BA两两垂直， →→→→→∵CD＝BA，FC＝BC－BF， →→?1→1→?→∴OM·CD＝?－2BC－2BF?·BA＝0， →→?1→1→?→→OM·FC＝?－2BC－2BF?·(BC－BF) 1→1→
＝－BC2＋BF2＝0，
22→→→→∴OM⊥CD，OM⊥FC， 即OM⊥CD，OM⊥FC，
又CD∩FC＝C，CD，FC?平面EFCD， ∴OM⊥平面EFCD.
又OM?平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.
跟踪演练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB的中点.
(1)求证：AM∥平面PCD； (2)求证：平面ACM⊥平面PAB.
证明 (1)如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系C－xyz，
13a?→→，，，CP＝(1,1，a)，CD则A(1,1,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(1,0,0)，P(1,1，a)(a>0)，M??222?11a→
－，，?， ＝(1,0,0)，AM＝??222?
?x0＋y0＋az0＝0，?
设平面PCD的法向量为n1＝(x0，y0，z0)，则?
?x＝0，?0
令y0＝a，则n1＝(0，a，－1)， aa→
所以AM·n1＝－＝0，
22又AM?平面PCD， 所以AM∥平面PCD.
13a?→→
(2)由(1)得，CA＝(1,1,0)，CM＝??2，2，2?， 设平面ACM的法向量为n2＝(x1，y1，z1)， x＋y＝0，??11则?1 3a
x＋y＋z＝0，??212121
2
1，－1，?， 令x1＝1，则n2＝?a??→→
AP＝(0,0，a)，AB＝(－1,1,0)，
设平面PAB的法向量为n3＝(x2，y2，z2)，
?－x2＋y2＝0，?则? ?az＝0，?2
令x2＝1，则n3＝(1,1,0)， 所以n2·n3＝1－1＝0. 所以平面ACM⊥平面PAB.
热点二 利用空间向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角
π0≤θ≤?， 设l，m的夹角为θ?2??
|a1a2＋b1b2＋c1c2||a·b|
则cos θ＝＝22222. |a||b|a1＋b2＋c a＋b＋c11222(2)线面夹角
π
0≤θ≤?， 设直线l与平面α的夹角为θ?2??则sin θ＝
|a·μ|
＝|cos〈a，μ〉|. |a||μ|
(3)二面角
设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝
|μ·v|
＝|cos〈μ，v〉|. |μ||v|
例2 (2019·南昌模拟)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点.
(1)求证：AA1⊥BD；
(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值.
(1)证明 因为C1C⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD. 因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1. 又AA1?平面ACC1A1， 所以BD⊥AA1.
(2)解 如图，设AC交BD于点O，