上述操作也可以用D(OP,1,12)命令来实现，即一阶——12步差分，因此直接绘制序列D(OP,1,12)的时序图结果如图6。 图7：周期差分后序列的相关图
可以看出序列自相关系数12阶显著，说明还是有一定的周期性 图8：对上面的序列再进行12步差分，绘制曲线图 图9：序列的相关图
可以看出12阶相关系数仍然显著，且相关系数比D12D1序列的相关系数还大，因此我们就进行到上一步骤即可。
差分的方式小结
对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息，命令为D(X)；
对曲线趋势的序列，低阶差分即可提取序列的确定性信息，命令为D(X,a)； 对具有周期性特点的序列，k步差分即可提取序列的周期性信息，命令为D(X,0,k)。
对既有长期趋势又有周期性波动的序列，可以采用低阶——k步差分的操作提取确定性信息，操作方法为D(X,a，k)。
非平稳序列如果经过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序列，差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合。
二、ARIMA模型
差分平稳序列在经过差分后变成平稳时间序列，之后的分析可以用ARMA模型进行，差分过程加上ARMA模型对差分平稳序列进行的分析称为ARIMA模型。
获 得 观 察 值 序 列 分 平稳性 检验 N 差分 运算 Y 白噪声 检验 N 拟合 ARMA 模型
Y 析 结 束 附录1.14 分析1952-1988年中国农业实际国民收入指数序列
先观测序列的时序图，可知序列具有线性长期趋势，需要进行1阶差分。 图1：1952-1988年中国农业实际国民收入指数时序图 再观测差分序列的时序图
图2：中国农业实际国民收入指数1阶差分后序列的时序图
图3：国农业实际国民收入指数1阶差分后序列的相关分析
由图可知，序列1阶自相关显著，序列平稳；Q统计量P值小于0.05，非白噪声；同时，偏自相关拖尾、自相关一步截尾，建立ARIMA（0，1，1）模型。（建立ARIMA（0，1，1）模型，是因为偏自相关拖尾，所以第一个数值为0，然后因为序列进行了一阶差分，所以中间数值为1，又自相关图一阶截尾，所以最后一个数值为1.）
图4：中国农业实际国民收入指数的ARIMA（0，1，1）模型 图5：模型残差的相关性分析
从图4和图5分析可知，残差为白噪声，模型信息提取充分；模型参数显著，模型精简，因此建立的ARIMA（0，1，1）模型合格,模型具体情况如下式：
（1-B）S=5.0156+(1-0.7082B)?
图6：预测1989-2000年农业实际国民收入指数
图7：1989-2000年农业实际国民收入指数预测图
三、季节模型
1.简单季节模型
附录1.13 对 1962.1——1975.12平均每头奶牛月产奶量序列进行分析 根据前面的分析可知，经过1——12步差分后， op变成平稳时间序列。 图1：序列D(OP,1,12)的相关分析图
经过相关分析看出自相关图具有短期相关性，是平稳时间序列；Q统计量的P值有小于0.05的情况，因此序列为平稳非白噪声序列。又观测自相关和偏自相关图，识别方程为一阶自回归方程
图2：序列D(OP,1,12)的AR(1)模型 图3：模型残差的相关分析
分析可知残差为白噪声，因而模型提取信息充分；观测图2可知模型参数显著，因而AR（1）模型可以提取平稳序列D(OP,1,12)的信息。
模型的具体信息为
1（1-B）(1-B12)OP=?
1?0.2126B2.乘积季节模型
当序列中长期趋势、季节效应、随机波动可以很容易分开，我们用简单季节模型进行分析；但更为常见的是序列的三个部分不能简单分开，而是相互关联，这时要用乘积季节模型。
附录1.17 试分析1948-1981年美国女性（大于20岁）月度失业率序列 首先观测序列的时序图
图1：1948-1981年美国女性（大于20岁）月度失业率序列时序图
由时序图可知，序列既有长期趋势又有周期性，因此进行1阶——12步差分
图2：进行1阶——12步差分 图3：D(S,1,12)的时序图
从时序图可以看出D(S,1,12)均值稳定，也没有明显的周期性，方差有界；通过相关分析，具体分析序列的平稳性，如图4。图4中可以看出自相关两阶显著，但是12阶也是显著的，因此在趋势平稳中又包含了周期性因素。
图4：D(S,1,12)的相关分析
用ARMA模型拟合序列D(S,1,12)尝试如下： 图5：AR(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)
图6：AR(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)的残差相关图 可以看出模型残差非白噪声，模型提取信息不充分。 图7：MA(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)
图8：MA(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)残差相关图 可以看出模型残差也非白噪声，模型提取信息不充分。 这种情况下我们尝试乘积季节模型
图9：ARMA(1,1)×(1,0,1)12拟合序列D(S,1,12) 图10：ARMA(1,1)×(1,0,1)12模型的参数
可以看出SAR(12)的参数并不显著，因此删除该项。
图11：ARMA(1,1)×(0，0,1)12拟合序列D(S,1,12) 图12：ARMA(1,1)×(0,0,1)12模型的参数
图13：乘积模型的残差相关图
可以看出乘积模型的残差为白噪声序列，该模型提取序列的信息充分；
参数都显著，因此模型精简；模型的具体形式为：
1?0.5652B（1-B）(1-B12)S=(1?0.8273B12)?
1?0.6829B