全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．
a1?a1＋nd?
π*
14．(优质试题·扬州模拟)在数列{an}中，an＝cosn－2(n∈N)． 3×2(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；
2(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关
n·n！系，并证明你的结论．
π2π
解 (1)an＝cos＝cos n－2n－1
3×23×2π??
?cos?2＝2?n－1?－1， 3×2??∴an＝2a2n＋1－1， ∴an＋1＝±
*
1
an＋1
2，
an＋12.
又n∈N，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝1
(2)当n＝1时，a1＝－2，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1， 111
当n＝2时，a2＝2，b2＝1－2＝2，∴a2＝b2， 318
当n＝3时，a3＝2，b3＝1－9＝9，∴a3
①当n＝3时，由上知，a3
全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
即ak<1－，
k·k！
2－
k·k！
2
2
2
则当n＝k＋1，ak＋1＝＝ak＋1
2<
121－，bk＋1＝1－， k·k！?k＋1?·?k＋1?！
2??1?
???221－1－
?
要证ak＋1
?
即证明1－<1－＋
k·k！?k＋1?·?k＋1?！2??
??2??k＋1?·?， ?k＋1?！??
2??
??2
即证明－＋??>0， ?k＋1?·?k＋1?！k·k！?k＋1?·?k＋1?！??
1
4
2??
??2
即证明 ＋??>0，显然成立． ?k＋1?·?k＋1?！k?k＋1?·?k＋1?！??∴n＝k＋1时，结论也成立．
综合①②可知：当n≥3时，an
综上可得，当n＝1时，a1>b1；当n＝2时，a2＝b2； 当n≥3，n∈N*时，an
15．(优质试题·上饶模拟)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn且1Tn＝1－2bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
?k－1?2
1
全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
1
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较b与Sn＋1的大小，并说明
n
理由．
解 (1)设an的首项为a1，
∵a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，
?a2＋a5＝12，∴?
a5＝27，?a2·
∴an＝2n－1.
?a1＝1，
解得?
?d＝2，
12
∵n＝1时，b1＝T1＝1－2b1，∴b1＝3. 11<