数学分析中的化归法
目 录
摘要 ................................................................................ 1 Abstract ............................................................................. 1 1. 绪论 ............................................................................. 2 1.1 化归法的背景 ................................................................. 2 2. 详谈化归法 ....................................................................... 3 2.1 化归法的分类 ................................................................. 3 2.2 常见的化归方法及化归思想 ..................................................... 3
2.2.1 化归的方法..............................................................3 2.2.2 化归的思想..............................................................4 2.3 化归法的原则 ................................................................. 5
2.3.1 化归的方向与一般模式....................................................5 2.3.2 化归法的原则............................................................5 3. 数学分析中的化归..................................................................6 3.1 化归思想在数学分析中的显化 ................................................... 6 3.2化归法在数学分析解题中的体现 ................................................. 12
3.2.1 在极限中的体现.........................................................12
3.2.2 在微分中的体现.........................................................15
3.2.3 在积分中的体现... .....................................................16
3.2.4 在级数中的体现.........................................................22 3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 ........................................... 24 4.小结 ............................................................................. 25 参考文献 ........................................................................... 26 致谢 ............................................................................... 27
数学分析中的化归法
摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。何谓“化
归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用
中图分类号：O1-0
The reduction method of mathematical analysis
Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems
which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.
Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
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1 绪 论
数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。在学术界有一个这样的故事，也许这个故事更能体现化归的思维特点。有人提出了这样的一个问题：“假设在你的面前有水龙头、火柴、煤气灶、和水壶，你想烧一些水，应该怎么做呢？”对此，有人这样回答：“把水壶里灌上水，点燃煤气灶，然后把水壶放在煤气灶上。”提问者对这一回答给予肯定。接着，提问者又问到：“假如现在水壶里盛满了水，其他的条件都没有变化，又该如何做呢？” 此时被提问者会很有自信的回答道：“直接点燃煤气灶，然后再把水壶放在煤气灶上即可。”这个答案会使人比较容易接受，但提问者指出：“这个答案不能使我感到满意，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会把水壶里的水倒掉并说我已经把这个问题转化为第一个已经解决的问题了。”在这个故事中也包含着这样一层意思：即化归法是数学家们所常用的一种方法。化归法是数学研究中的一种重要的技能和方法，它就是把有待解决和未解决的问题通过各种转化、归结到一类已经解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解的方法。目前，随着数学科学发展至今，化归法逐渐走向成熟，渗入到数学的各个领域中，化归法也有着广泛的应用。本篇论文将主要阐述化归法在数学分析中的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。
1.1 化归法的背景
对化归法的研究有着漫长的经历，这要从费尔玛大定理的证明谈起。1637年费尔玛留下了著名的费尔玛猜想，在此后的几百年时间里，众多著名的数学家对此进行了漫长的证明求解过程，主要分为三次重大的突破；第一次重大突破是1857年，德国数学接库麦尔引入分圆数和理想数，开创了分圆数和理想数的数学分支；第二次重大突破是1983年，德国29岁的青年数学家G.法尔廷斯利用法国数学家A.格罗腾迪克建立的概型理论证明了莫德尔猜想，还解决了泰特猜想和沙发列维奇猜想；第三次重大突破是费尔玛大定理的完全获证，即1993年英国青年数学家A.怀尔斯通过证明谷山-韦恩-志村猜想而获得费尔玛大定理的全证；从上面的论述可以看出，费尔玛大定理的完全获证，是数学家们前赴后继，艰苦卓绝地运用了各种转化方法和转化思想才得到的，而这种转化的方法就是化归法在数学研究中的具体运用。
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2 详谈化归法
化归思想是数学中最重要、最基本的一种思想方法，是数学思想方法的灵魂。何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的意思；具体来说就是将实际中解决问题的一些复杂的方法转化为简单方法，是将我们有待解决或未能解决的问题通过各种转化，最终变成我们容易解决和已经的问题和方法，从而达到证明和求解的目的。在学习中化归思想无处不在，它是分析问题和解决问题的有效途径。
2.1 化归法的分类
1.按照化归方法应用范围来分，可以分为外部的化归方法和内部的化归方法。外部的化归方法是指把实际的问题转化为数学中的问题；内部的化归方法则是指将某一类数学问题转化为另外一类数学问题。
2.按照化归方法解决问题性质来分，可以分为计算中的化归方法和论证中的化归方法以及建立新的学科体系中的化归方法等等。
3.按照化归方法应用广度来分，可以分为多维的化归方法和二维的化归方法以及广义的化归方法。多维的化归方法是指跨越多种数学分支，广泛的适用于各种学科系统的化归方法，例如变量代换法、坐标变换法、参数变换法、映射法、待定系数法、分解与组合法、反证法都属于多维的化归方法；二维的化归方法是指联接两个不同的数学分支的化归方法，例如解析法、坐标法、代数法等；广义的化归方法是指超出数学范围的化归方法，例如数学模型方法、反证法等。
2.2常见的化归方法及化归思想
1. 化归的方法
化归的方法也就是规范化的手段、措施以及技术。化归方法包含三个基本要素：化归的对象、目标、途径。化归的对象就是把什么问题进行化归，化归的目标就是把问题化归到何处去，化归的途径就是如何对问题进行化归（也就是化归的方法）。例如在求解有理函数的积分时一般的方法是先化为部分的分式求解。在这里被积的有理函数就是化归的对象，部分的分式就是化归的目标，而把有理函数表示成部分分式之和时所用的待定系数法就是化归的方法。在化归的三个要素中，化归途径是实现化归的关键，这是很显然的。
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