【高三数学专题复习】空间向量与立体几何(含详解)

3、【2019年高考全国Ⅲ卷】图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的

一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的二面角

证明:(1)由题意知,平面

,平面

平面

,.

,则

,又

平面

,又

的大小.

(2)分别取四边形

的中点为,,连结

60,

为棱形,且

又平面,即

, 平面

分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

以点为坐标原点,

设平面

的一个法向量为

,令

得到平面

的一个法向量为

,故二面角

的大小为. , ,则

,

4、【2019年高考浙江卷】如图,已知三棱柱ABC?A1B1C1,平面A1ACC1?平面ABC,

?AC,E,F分别是AC,A1B1的中点. ?ABC?90?,?BAC?30?,A1A?AC1(1)证明:EF?BC;

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

【解析】方法一:

(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1, 平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.

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