专题3 空间向量与立体几何解释
1、AA1=4，【2019年高考全国Ⅰ卷】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，
AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值. 解答：
（1）连结M,E和B1,C，∵M,E分别是BB1和BC的中点，∴
ME//B1C且ME?1B1C， 2又N是A1D，∴ME//DN，且ME?DN，∴四边形MNDE是平行四边形， ∴MN//DE，又DE?平面C1DE，MN?平面C1DE，∴MN//平面C1DE.
（2）以D为原点建立如图坐标系，由题D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1,3,2)
uuuruuuuruuurA1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，A1D?(?2,0,?4)，设平面AA1M的法向量为uruurn1?(x1,y1,z1)，平面DA1M的法向量为n2?(x2,y2,z2)，
uruuur?ur???4z1?0?n1?A1A?0ruuuur由?u得?，令x1?3得n1?(3,1,0)，
??x1?3y1?2z1?0??n1?A1M?0?uuruuur?uur???2x2?4z2?0?n2?A1D?0uruuuur由?u得?，令x2?2得n2?(2,0,?1)，
??x2?3y2?2z2?0??n2?A1M?0?uruururuurn1?n215cosn,n??uruurA?MA1?N的正弦值为10. 12∴，∴二面角5n1?n25
2、【2019年高考全国Ⅱ卷】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形， 点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE?A1E，求二面角B?EC?C1的正弦值. 解析：
（1）证明：∵B1C1?平面ABB1，BE?平面ABB1， ∴B1C1?BE，又BE?EC1，EC1?B1C1?C1， ∴BE?平面EB1C1.
（2）设底面边长为1，高为2x，∴BE2?x2?1，B1E2?x2?1，
∵BE?平面EB1C1，∴?BEB1?90?即BE2?B1E2?BB12，∴2x2?2?4x2解得x?1. ∵BC?平面A1ABB1，∴BC?B1E，又B1E?BE，∴B1E?平面BCE，故B1E为平面BCE的一个法向量.
∵平面C1CE与平面A1ACC1为同一平面，故B1D1为平面C1CE的一个法向量， 在?B1D1E中，∵B1D1?D1E?B1E?2故B1E与B1D1成60?角， ∴二面角B?EC?C1的正弦值为sin60??3. 2