【高三数学专题复习】空间向量与立体几何(含详解)

专题3 空间向量与立体几何解释

1、AA1=4,【2019年高考全国Ⅰ卷】如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,

AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求二面角A?MA1?N的正弦值. 解答:

(1)连结M,E和B1,C,∵M,E分别是BB1和BC的中点,∴

ME//B1C且ME?1B1C, 2又N是A1D,∴ME//DN,且ME?DN,∴四边形MNDE是平行四边形, ∴MN//DE,又DE?平面C1DE,MN?平面C1DE,∴MN//平面C1DE.

(2)以D为原点建立如图坐标系,由题D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2)

uuuruuuuruuurA1A?(0,0,?4),A1M?(?1,3,?2),A1D?(?2,0,?4),设平面AA1M的法向量为uruurn1?(x1,y1,z1),平面DA1M的法向量为n2?(x2,y2,z2),

uruuur?ur???4z1?0?n1?A1A?0ruuuur由?u得?,令x1?3得n1?(3,1,0),

??x1?3y1?2z1?0??n1?A1M?0?uuruuur?uur???2x2?4z2?0?n2?A1D?0uruuuur由?u得?,令x2?2得n2?(2,0,?1),

??x2?3y2?2z2?0??n2?A1M?0?uruururuurn1?n215cosn,n??uruurA?MA1?N的正弦值为10. 12∴,∴二面角5n1?n25

2、【2019年高考全国Ⅱ卷】如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, 点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE?A1E,求二面角B?EC?C1的正弦值. 解析:

(1)证明:∵B1C1?平面ABB1,BE?平面ABB1, ∴B1C1?BE,又BE?EC1,EC1?B1C1?C1, ∴BE?平面EB1C1.

(2)设底面边长为1,高为2x,∴BE2?x2?1,B1E2?x2?1,

∵BE?平面EB1C1,∴?BEB1?90?即BE2?B1E2?BB12,∴2x2?2?4x2解得x?1. ∵BC?平面A1ABB1,∴BC?B1E,又B1E?BE,∴B1E?平面BCE,故B1E为平面BCE的一个法向量.

∵平面C1CE与平面A1ACC1为同一平面,故B1D1为平面C1CE的一个法向量, 在?B1D1E中,∵B1D1?D1E?B1E?2故B1E与B1D1成60?角, ∴二面角B?EC?C1的正弦值为sin60??3. 2

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)