问题。以前是难于求解的1,2。而用虚拟激励法则很方便地求得了精确解。对于地震行波效应问题，海洋平台受随机波浪力问题，汽车前后轮受轮轨作用力问题等，结构所受到的多点激励之间仅存在相位差或常数倍幅值的区别，这时（15）~（20）式中的r均等于1，属于完全相关问题。用虚拟激励法处理相对于计算单自由度问题，是特别方便高效的。
四、非平稳单源随机激励问题
1．均匀调制演变随机激励
若线性结构受演变随机激励 f?t?=g?t?x?t?的作用，这里g?t? 是给定的慢变调制函数，而x?t? 是平稳随机过程，其自谱Sxx??? 已知。 为了计算二任意响应向量
{y(t)}和{z(t)}的功率谱矩阵，要采用下列虚拟激励
16
（21）
f?t??g?t?Sxx???ei?t在该确定性荷载作用下，方程（6）成为
????C??y????K??y???p?g?t??M???ySxx???ei?t （22）
?0???0?。于是响应的对于地震分析问题，结构认为初始静止，即当t=0时，?y0???y时间历程?y??,t??和?z??,t??可以通过Newmark法或Wilson-?法计算算参数。业已证明12响应的功率谱矩阵可按下式精确地计算
17
，?则作为计
?S??????y??,t???y??,t???yyT
（23） （24）
?S??????y??,t???z??,t???yzT也已经证明17,18，如果采用精细积分法来计算（22）式，则效率和精度比采用Newmark法要高出很多。
2．非均匀调制演变随机激励
若线性结构受非均匀调制演变随机激励f(t)的作用16
f?t??????A??,t?ei?td????
（25）
其中A??,t?是已知的慢变非均匀调制函数，?满足下列方程
Ed?????1?d???2???Sxx??1????2??1?d?1d?2 （26）
而Sxx??1?是平稳随机过程x(t)的自谱密度。上述Riemann-Stieltjes 积分对于随机响应的计算造成很多困难。但是，如果采用下列虚拟激励10
使方程（22）成为
????C??y????K??y???p?A??,t??M???ySxx???ei?tf?t??A??,t?Sxx???ei?t （27）
（28）
则任意两个响应向量?y??,t??和?z??,t??的时间历程仍可方便地由（28）式求得，而相应的功率谱矩阵则为10
?S??????y??,t???y??,t???yyT （自谱矩阵） （互谱矩阵）
（29） （30）
?S??????y??,t???z??,t???yzT虚拟激励法在计算中完全避免涉及Riemann-Stieltjes积分，为工程师带来了很大的方便。
五、非平稳多源随机激励问题
对于结构受多源均匀调制演变随机激励问题，方程（14） 成为
????C??y????K??y???R??f?t?? ?M???y（31）
其中?R?是指定的常数矩阵，而?f?t??是m维演变随机过程向量
?g1?t?x1?t?????g2?t?x2?t???f?t?????
?????gm?t?xm?t??? （32）
其中gi?t?是第i个激励的调制函数（i=1,2,…,m）。零均值平稳随机过程向量?x?t??
?x1?t?????x2?t???x?t?????
?????xm?t??? （33）
的功率谱矩阵?Sxx????是已知的。
.仍可将厄密特矩阵?Sxx????分解为
?Sxx??????dj??j????j?T ?r?m?
j?1r（34）
其中r是?Sxx????的秩。然后构造r个虚拟激励向量
?f?t???jdjgi?t???j?ei?t ?j?1,2,?,r? （35）
将（35）式代入（31）式的右端，仍可按任意一种逐步积分法（尤其是精细积分法19,20）计算得到?yj??,t??和?zj??,t??的时间历程。则相应的时变功率谱矩阵可由下式精确而高效地计算11
－13
?S???????y??,t???y??,t???yyjjrT
（36） （37）
?S???????y??,t???z??,t???yzjjj?1j?1rT以上方法可推广于结构受多源非均匀调制演变随机激励问题12。
六、工程应用情况
PEM已经在多个工程领域得到初步的应用。下面列举部分工程应用实例： 水坝抗震分析：水利水电科学研究院陈厚群19在其专著中详细介绍了PEM的原理和步骤，并附以大量的实际计算结果。清华大学刘天云等20推广PEM并应用于新疆石门子水坝的设计中。河海大学刘汉龙等21也结合瀑布沟水电站工程应用了PEM。
桥梁和其它结构抗震分析：同济大学范立础等应用PEM研究了南京长江二桥的抗震分析（桥长1238 M，分析中使用300阶振型）22。北京工业大学曹智、薛素铎等推广虚拟激励法于三维网架结构的抗震分析结构的抗震分析上发展了PEM。
大跨度结构的风激振动分析：大连理工大学孙东科26、刘高27，同济大学朱乐东、项海帆和香港理工大学徐幼麟28等，基于整体三维有限元模型将PEM用于大跨度桥梁的耦合颤振－抖振分析中，在国际刊物上发表了一系列论文。浙江大学陈贤川等、上海交通大学李春祥等29-30将PEM应用于各种高柔结构的随机分析与控制中。
23
。祝长生、廖松涛等
24－25
分别在不同
车辆随机振动和最优控制：吉林大学赵又群、郭孔辉31，华中科技大学李强、周济32用PEM研究了车辆振动的控制和优化。
七、开发基于PEM的CAE软件需要解决的问题
虽然PEM已经表明在许多工程领域是非常实用的。但是要真正地在工程中得到普遍的推广应用则还需要作出很大的努力：
1）理论方法上的配套。首先是输入功率谱的确定。其实在结构抗震、抗风、海浪、公路和铁路路面不平度等许多方面国内外都已经制定了不少功率谱，但是对于工程普遍应用来说，还欠完整，不够规范。再就是输出功率谱的处理。功率谱一般不是工程人员可以直接使用于设计的量，而必须按不同的目的加以转化。这方面已经有了很多研究成果，在桥梁、建筑、海洋平台、汽车、火车等许多工程领域，都各有成熟程度不等的方法。有的已经在一些工程规范中有所规定或建议。但是仍需要分别情况进行充实和规范。
2）要解决应用新成果的思想障碍。有些领导或“老资格”总以“还不够成熟”为借口而墨守成规，安于现状；“创新”二字仅挂在口头上。综观欧美日诸强，他们争先恐后地抢用最新的科技成果，以占领科技制高点。欧共体于1995年颁布了一系列工程规范，在建筑、桥梁等设计中则推荐了功率谱方法（即随机振动方法）。其实，功率谱方法历经近半个世纪的发展，可谓成就斐然，但也决非已经十分完善。西方的大多数资深工程师也并不懂得随机振动原理。而且在结构计算环节上他们还不如我们中国人解决得好。但他们却大力提倡这些新方法的应用，就是为了尽快在激烈的竞争中取得主导或控制地位。 当今各国工程界普遍应用的反应谱方法，在半个世纪以前刚推广时也是不完善的。甚至于如何应用振型分解法就不太清楚，众说纷纭，莫衷一是。 直到1980年在地震激励为白噪声的假定下，推导出了CQC公式，才算基本上统一了认识。又如工程界在刚开始应用有限元法时，又有多少工程师明白其原理呢？很多人是被一股历史潮流裹胁着往前走的。如果真要等到多数工程师都掌握了原理方法才去推广有限元法，那就贻误战机、被历史淘汰了。今后，对于越来越先进的科学技术的应用将更是如此。而发展CAE产业，开发出便于应用的程序，则起着至关重要的作用。只要先有一部分人掌握了这些软件，使得设计水平超越传统方法，就能迅