随机振动虚拟激励法及工程应用
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林家浩 张亚辉 赵岩
（大连理工大学工程力学系 工业装备结构分析国家重点实验室，大连116023）
摘要 本文扼要地介绍了求解受平稳/非平稳随机激励结构的虚拟激励法。解释了该方法快速、精确的原因。然后列举实例以表明虚拟激励法已经在我国的多个工程领域得到初步的应用。最后讨论了将此新颖计算方法实际应用于工程所必须解决的一些问题。 关键词 随机振动 平稳 非平稳 虚拟激励法
一、引言
随机振动是对于许多工程领域都非常有用的力学工具。其基本理论框架和计算方法又早已建立
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，可是它在工程中的实际推广却又困难重重。其中一个重要原因是
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传统计算方法的复杂低效。近十几年发展的虚拟激励法，将平稳随机响应的计算
转化为简谐响应的计算；而将非平稳随机响应的计算转化为普通的逐步积分计算。从而使得历来感到难于应用的随机振动理论的实际计算分析变得十分方便了。一个十分典型的例子就是对大跨度桥梁考虑地面多点激励的抗震分析。1989年的美国西部大地震使得旧金山湾区大桥受到严重的损坏；美国在该领域的主流科学家如Kiureghian（加州大学伯克利分校地震研究中心主任），Vanmarcke（普林斯顿大学教授）都主张应该用随机振动方法来对大跨度桥梁进行抗震分析。但是他们分别对于对方提出的计算方法
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提出强烈批评，致使工程界无所适从。加州大学提出的外形优美的新桥方
案也因为抗震分析未能过关而功亏一篑。我们在1992-1997年间在国际刊物上陆续发表的虚拟激励法系列则从根本上解决了他们碰到的计算困难；包括更为困难的多点非平稳随机地震激励问题。只需借助于普通微机，即可精确而高效地求解最为关键的高阶随机微分方程。最近十多年来，我国工程界许多不同领域的学者已经用虚拟激励法这有力工具解决了各自领域的许多颇具规模的复杂随机响应计算实例，包括桥梁、水
?
国家自然科学基金（No.10072015）资助项目
坝和各种复杂结构物的抗震、抗风计算，海洋平台的随机波浪分析，车辆受路面激励的振动分析和控制等等。其中很多问题的难度是在国际刊物中尚未见到先例的。
本文将首先扼要地介绍虚拟激励法对于平稳/非平稳，单点/多点，均匀调制、非均匀调制等多种随机激励情况下的基本算法。然后讨论了进一步在工程中推广应用虚拟激励法所需要解决的一些技术问题和思想障碍。
图1 单源激励虚拟激励法的基本原理
Sxx(?)ei?ty?H(?)Sxx(?)H1(?)eSxx(?)H2(?)ei?tz?i?t二、平稳单源随机激励问题
单源输入问题的虚拟激励法可由图1来说明。设线性系统受零均值平稳随机激励作用，其功率谱密度Sxx(?)为已知。若y?Sxx(?)H1(?)ei?t和z?Sxx(?)H2(?)ei?t是由下列虚拟简谐激励
引起的两种响应，那么容易验证
?x?Sxx(?)ei?t （1）
yy?H1(?)Sxx(?)?Syy(?)??2 （2） （3）
yz?H1(?)Sxx(?)H2(?)?Syz(?)
这表明，两个随机响应y(t)和z(t)的自谱和互谱可以用相应的虚拟简谐响应y和z来算出。
如果虚拟响应是两个任意的简谐响应向量?y(t)?和?z(t)?，则可相似地证明其相应的功率谱矩阵是
?y??y??y??z???T????Syy(?)?????Syz(?)?
（4） （5）
T
现考虑结构受单源随机激励的作用，其运动方程为
????K??y???P?x(t) y???C??y?M????（6）
其中x(t)为功率谱是Sxx(?)的平稳随机过程，?P?是给定的常数向量。为了求解该方程，令x(t)?
其稳态解为
Sxx(?)ei?t，则方程（6）成为下列谐和运动方程
Sxx(?)ei?t????K??y???P?y???C??y?M???? （7）
?y(t)???Y(?)?ei?t
（8）
用其前q阶振型作振型迭加，则有15
Hj?Y(?)????jHj??j?j?1qSxx(?)
T（9） （10）
???2j??2?2i?j??j??1?j??p? , ?j??其中?j、??j?、?j、?j分别是第j阶自振园频率、振型、阻尼比和振型参与系数。按虚拟激励法，则?y?的功率谱矩阵为
?S??????y??y??yyT??Y?????Y????
?T（11）
将（7）式代入（9）式可得
?S????????yyj?1k?1qq?HjHk??jk?j????kTSxx???
（12）
这就是熟知的CQC（Complete Quadratic Combination）法公式4,15。它包含了全部参振振型之间的互相关项，因此一般需要很大的计算量。为了减小计算量，一般建议将互相关性忽略掉，从而得到下列近似的SRSS（Square Root of the Sum of Squares，平方和开平方）公式15。
?S???????yyj?1q2jH2j??????jjTSxx???
（13）
（10）式的主要计算量是q2个向量乘法，而（13）式主要包含q个这样的向量乘法计算。但是虚拟激励法，亦即（9）式和（11）式仅需要一个这样的向量乘法计算即可
?获得与（12）式有同样精确度的功率谱矩阵??Syy(?)?。因此虚拟激励法又称为快速
CQC法7。SRSS法仅对于参振频率为稀疏分布的小阻尼结构才是近似可用的。对于复杂的工程结构，尤其在使用三维结构模型时，自振频率几乎总是密集分布的，因此SRSS法不可用。但通常的CQC法，即（12）式又需要巨大的计算量。这就使得随机振动方法应用于实际工程问题十分困难；除非是对于自由度和外部激励都很少的简单结构。虚拟激励法解决了这一困难，在普通微机上就可精确而迅速地计算非常复杂的问题。
三、平稳多源随机激励问题
若线性结构受多个非平稳随机激励的作用，其运动方程为
????C??y????K??y???R??x?t?? ?M???y（14）
其中?R?是给定的常数矩阵，其功率谱矩阵?Sxx?????x?t??是一m维平稳随机过程向量，为已知。由于功率谱矩阵必为厄密特矩阵，因此可按其特征对分解为
?Sxx??????dj??j????j?T ?r?m?
j?1r（15）
其中r是矩阵?Sxx????的秩。然后构造r个虚拟简谐激励
?x?t???jdj???eji?t ?j?1,2,?,r?
（16）
将（16）式代入（14）式，易求得谐和响应为
?y?t????y????ejji?t （17）
任一其它谐和响应也很容易求得，记作?zj?t??
?z?t????z????ejji?t （18）
则与上述响应相应的功率谱矩阵可按下式计算9,12
?S???????Y?????Y?????yyjjj?1r?yzjjj?1rT
（19） （20）
?S???????Y?????Z????T以上算法考虑了所有激励之间的互相关项（可以是不完全相关），属于部分相关激励