4．3 向量组的线性相关性
定义4．6 给定向量组A:a1,a2,,am，如果存在不全为零的数k1,k2,?kmam?0
,km，使
k1a1?k2a2?则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关．
向量组A:a1,a2,性方程组
,am构成矩阵A?(a1,a2,,am)，向量组A线性相关，就是齐次线
x1a1?x2a2?即Ax?0有非零解．
例4．7 n维单位坐标向量组e1,e2,?xmam?0
,en线性无关．
x2，?，xn 使 x1e1?x2e2???xnen?0，即 证 设有数 x1，T（x1，x2，?，xn）?0
?x2???xn?0，所以e1，e2，?，en线性无关． 故x1，例4．8 设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1，证明：向量组
?1,?2,?3,?4线性相关．
证 由于?1??3??2??4，所以向量组?1,?2,?3,?4线性相关． 例4．9 设n维向量组A:a1,a2,,am线性无关，P为n阶可逆矩阵，证明：
Pa1,Pa2,,Pam也线性无关．
,Pam线性相关，则齐次方程组 ?xmPam?0
证 用反证法．如若不然，假设Pa1,Pa2,x1Pa1?x2Pa2?有非零解．上式两边左乘P可得
?1x1a1?x2a2?也有非零解，于是a1,a2,无关．
?xmam?0
,Pam线性
,am线性相关， 这与题设相矛盾．因此Pa1,Pa2,下面给出线性相关和线性无关的一些重要结论． 定理4．2 向量组A:a1,a2,,am(m?2)线性相关的充要条件是在向量组A中至少有
一个向量可由其余m?1个向量线性表示． 证 必要性．设向量组A:a1,a2,妨设k1?0），使
,am线性相关，则有不全为0的数k1,k2,,km（不
k1a1?k2a2?
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?kmam?0
从而
a1??即a1可由a2,k2a2?k1?kmam k1,am线性表示．
充分性．设向量组A中有某个向量可由其余m?1个向量线性表示，不妨设am可由
a1,,am?1线性表示，即有?1,?2,,?m?1，使
??m?1am?1
am??1a1??2a2?于是
?1a1??2a2?因为?1,?2,??m?1am?1?(?1)am?0
,?m?1,?1这m个数不全为0，所以向量组A线性相关．
,ar线性相关，则向量组B:a1,a2,,ar,ar?1也线性
定理4．3 若向量组A:a1,a2,相关．换言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．
证 由于向量组a1,a2,,ar线性相关，所以存在不全为零的r个数k1,k2,k1a1?k2a2??krar?0
,kr，使
从而 k1a1?k2a2?且k1,k2,?krar?0?ar?1?0
,kr,0这r?1个数不全为零．因此，a1,a2,,ar,ar?1线性相关．
,ar,b线性相关，
定理4．4 设向量组A:a1,a2,,ar线性无关，而向量组B:a1,a2,则向量b必可由向量组A唯一地线性表示．
证 由于向量组B:a1,a2,,ar,b线性相关，所以存在不全为零的r?1个数
k1,k2,,kr,k，使
k1a1?k2a2??krar?kb?0
如k?0，则k1,k2,,kr必不全为零，于是
k1a1?k2a2??krar?0
这与向量组A:a1,a2,,ar线性无关矛盾，所以k?0．故
b??设有b??1a1??2a2?k1ka1?2a2?kk?krar k??rar，b??1a1??1a1????1a1两式相减，则有
?(?r??r)ar?0
,r)．即?i??i(i?1,2,,r)．
(?1??1)a1?(?2??2)a2?由向量组A:a1,a2,,ar线性无关，?i??i?0(i?1,2, 所以，向量b可由向量组A唯一地线性表示．
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定理4．5 向量组A:a1,a2,,ar线性相关?R(A)?r．换言之，向量组
A:a1,a2,,ar线性无关?R(A)?r．
,ar线性相关，则存在不全为零的r个数
证 必要性．设向量组A:a1,a2,k1,k2,,kr（不妨设kr?0），使
k1a1?k2a2??krar?0
即
ar??对A?(a1,a2,k1ka1?2a2?krkr?kr?1ar?1 kr,ar)施行初等列变换
cr?k1kc1?2c2?krkr?kr?1cr?1 kr可将A的第r列变成０，故A(a1,a2,~c,ar?1,0)，所以
,ar?1)?r
R(A)?R(a1,a2,充分性．设R(A)?s?r，可用列初等变换将A化为列阶梯形矩阵，即存在可逆矩阵Q，
?an线性相关． （Cn?s，0）使得AQ?，矩阵A的列向量组a1，a2，定理4．6 若向量组a1,a2,线性表示，则向量组b1,b2,证 向量组B:b1,b2,,ar线性相关，向量组b1,b2,,br可由向量组a1,a2,,ar,br也线性相关． ,br可由向量组A:a1,a2,,ar线性表示，则有
kr1a1?kr2a2??krrar)
B?(b1,b2,即
,br)?(k11a1?k12a2??k1rar,B?(a1,a2,?k11?k,ar)?12???k1rk21k22k2rkr1?kr2???AK ??krr?因为矩阵A的列向量组线性相关，所以R(A)?r ，由矩阵的秩的性质（7）知
R（B）?R（AK）?R（A）〈r
故B的列向量组 b1,b2,,br线性相关．
,br,br?s可由向量组A:a1,a2,,ar线性表示，则向量组
推论1 若向量组B:b1,b2,B:b1,b2,,br,br?s线性相关．
,br,br?1可由向量组A':a1,a2,10
证 显然，向量组B:b1,b2,
,ar,0，…，0（s个零
向量）线性表示，而向量组A'线性相关，由定理4．6，B:b1,b2,推论2 n?1个n维向量一定线性相关． 证 n?1个n维向量组A一定可由
,br,br?s线性相关．
e1?(1,0,,0)T,e2?(0,1,,0)T,,en?(0,0,,1)T
线性表示，由推论1立即可的结论．
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