4.3 向量组的线性相关性
定义4.6 给定向量组A:a1,a2,,am,如果存在不全为零的数k1,k2,?kmam?0
,km,使
k1a1?k2a2?则称向量组A是线性相关的,否则称为线性无关.
向量组A:a1,a2,性方程组
,am构成矩阵A?(a1,a2,,am),向量组A线性相关,就是齐次线
x1a1?x2a2?即Ax?0有非零解.
例4.7 n维单位坐标向量组e1,e2,?xmam?0
,en线性无关.
x2,?,xn 使 x1e1?x2e2???xnen?0,即 证 设有数 x1,T(x1,x2,?,xn)?0
?x2???xn?0,所以e1,e2,?,en线性无关. 故x1,例4.8 设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1,证明:向量组
?1,?2,?3,?4线性相关.
证 由于?1??3??2??4,所以向量组?1,?2,?3,?4线性相关. 例4.9 设n维向量组A:a1,a2,,am线性无关,P为n阶可逆矩阵,证明:
Pa1,Pa2,,Pam也线性无关.
,Pam线性相关,则齐次方程组 ?xmPam?0
证 用反证法.如若不然,假设Pa1,Pa2,x1Pa1?x2Pa2?有非零解.上式两边左乘P可得
?1x1a1?x2a2?也有非零解,于是a1,a2,无关.
?xmam?0
,Pam线性
,am线性相关, 这与题设相矛盾.因此Pa1,Pa2,下面给出线性相关和线性无关的一些重要结论. 定理4.2 向量组A:a1,a2,,am(m?2)线性相关的充要条件是在向量组A中至少有
一个向量可由其余m?1个向量线性表示. 证 必要性.设向量组A:a1,a2,妨设k1?0),使
,am线性相关,则有不全为0的数k1,k2,,km(不
k1a1?k2a2?
8
?kmam?0
从而
a1??即a1可由a2,k2a2?k1?kmam k1,am线性表示.
充分性.设向量组A中有某个向量可由其余m?1个向量线性表示,不妨设am可由
a1,,am?1线性表示,即有?1,?2,,?m?1,使
??m?1am?1
am??1a1??2a2?于是
?1a1??2a2?因为?1,?2,??m?1am?1?(?1)am?0
,?m?1,?1这m个数不全为0,所以向量组A线性相关.
,ar线性相关,则向量组B:a1,a2,,ar,ar?1也线性
定理4.3 若向量组A:a1,a2,相关.换言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.
证 由于向量组a1,a2,,ar线性相关,所以存在不全为零的r个数k1,k2,k1a1?k2a2??krar?0
,kr,使
从而 k1a1?k2a2?且k1,k2,?krar?0?ar?1?0
,kr,0这r?1个数不全为零.因此,a1,a2,,ar,ar?1线性相关.
,ar,b线性相关,
定理4.4 设向量组A:a1,a2,,ar线性无关,而向量组B:a1,a2,则向量b必可由向量组A唯一地线性表示.
证 由于向量组B:a1,a2,,ar,b线性相关,所以存在不全为零的r?1个数
k1,k2,,kr,k,使
k1a1?k2a2??krar?kb?0
如k?0,则k1,k2,,kr必不全为零,于是
k1a1?k2a2??krar?0
这与向量组A:a1,a2,,ar线性无关矛盾,所以k?0.故
b??设有b??1a1??2a2?k1ka1?2a2?kk?krar k?