第2章 自动控制系统的数学模型
数学模型是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式，建立系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的基础。微分方程、传递函数、结构图、信号流图和脉冲响应函数都是用来描述线性系统的数学模型。
微分方程是控制系统的时域数学模型，正确地理解和掌握系统的工作过程、各元部件的工作原理是建立系统微分方程的前提。
传递函数是在零初始条件下系统输出的拉普拉斯变换和输入拉普拉斯变换之比，是经典控制理论中重要的数学模型，熟练掌握和运用传递函数的概念，有助于分析和研究复杂系统。
动态结构图和信号流图是两种用图形表示的数学模型，具有直观形象的特点。其优点是可以方便地应用梅逊增益公式求复杂系统的传递函数。
脉冲响应函数是在零初始条件下，用系统对单位理想脉冲输入的时域响应描述系统变量的函数关系。对脉冲响应取拉普拉斯变换，即可求得相应的传递函数。
控制系统常用的传递函数有开环传递函数GK(s)，闭环传递函数?(s)和?D(s)（输出对扰动作用的传递函数）以及误差传递函数?E(s)和?DE(s)（扰动输入作用下的偏差传递函数），它们在系统分析和设计中的地位十分重要。
求系统的传递函数常用的方法有三种：微分方程取拉氏变换法；结构图等效化简法以及梅逊增益公式法。对于力学系统，要用到牛顿第二定理；对于电网络，要用到节点电流定律和回路电压定律，还可以利用复数阻抗的概念方便地写出相应的传递函数。
教材习题同步解析
2.1 求图2.1中RC电路和运算放大器的传递函数Uo(s)Ui(s)。 解：（a）令Z1=
11Cs?R1为电容和电阻的复数阻抗之和；Z2=R2为电阻的复数阻抗。由此可求得传递函
数为：
G(s)?Uo(s)Z2R2R1R2??? Ui(s)Z1?Z2Cs?1?RR1Cs?R1R2?12R19
U1B
A
A
图2.1 电路网络图
(b) 令Z1=Ls为电感复数阻抗；Z2=
1?R为电容和电阻的复数阻抗之和。由此可求得传递函数为：CsG(s)?Uo(s)Z2RCs?1 ???21Ui(s)Z1?Z2?R?LsLCS?RCs?1Cs1。又由虚短得 C2s1?RCs(c) 该电路由运算放大器组成，属于有源网络。运算放大器工作时，A点的电压约等于零，称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=R1，Z2=R2?Ui(s)?Uo(s)?? Z1Z2故有
G(s)?Uo(s)Z2R2C2s?1?? Ui(s)Z1R1C2s(d) 假设B点电压为U1，根据A点虚地，及节点电流定理可得： A点的电流关系
Ui(s)U1(s)??0 RR1B点的电流关系
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U1(s)U1(s)U1(s)?(?Uo(s))???0
1R1R2sC可得
U3(s)??联立以上各式，消掉U1(s)，有
R1Uo(s)
R1?R2?R1R2CsUo(s)R1?R2?R1R2Cs ?Ui(s)R
2.2 求图2.2所示机械运动系统的传递函数。
x
B1 M B2 xo
k2 k1 xo
xr
k1 B k2 xo
B1 xr
(a) (b) (c)
图2.2 弹簧阻尼运动系统
（1）求图2.2（a）的
Xo(s)。 Xr(s)解：位移xr为输入量，xo为输出量。设初始时刻系统不受任何外界压力或拉力，处于静止状态，即系统初始条件为零。由于无质量，系统各受力点任意时刻均满足合外力?F?0，如图解2.3(a)所示，并取a点的位移为中间变量x，方向朝下。根据弹簧、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿定律，取a，b两点分别进行受力分析。
对a点有
k1(xr?x)?B(dxdxo?) dtdt上式中，xr?x是弹簧k1的弹性位移，因此k1(xr?x)为弹簧k1的弹力。x?xo是阻尼器B的弹性位移，
dxdxodxdx为速度，B(?o)为阻尼器B的阻尼力。弹簧弹力与阻尼力二者大小相等，方向相反。 ?dtdtdtdt同理，对b点有
B(
dxdxo?)?k2xo dtdt11
联立两式，消除中间变量x可得：
k1(xr?x)?k2xo，x?xr?将x代入b点受力方程，有
k2xo k1BdxdxrBk2dxo??Bo?k2xo dtk1dtdtBk2s?B?k2)Xo(s) k1等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有
BsXr(s)?(系统传递函数为
Xo(s)k1BsBs ??BksXr(s)2?B?k2B(k1?k2)s?k1k2k1dxdxo?)dtdtB1(dxrdxo?)dtdtB2dxodtk1(xr?x)B(xr k1 B a b xr
B1 M B2 xo
M x xo a b k2 B( (a)
dxdxo?)dtdtk2x (b)
d2xoMdt2
（2）求图2.2（b）的
图2.3 题2.2弹簧阻尼运动系统受力图解
Xo(s)。 Xr(s)解：运动由静止开始，质量M的重力已经由阻尼器B1、B2的阻尼抵消，系统处于一个平衡状态，即初
d2xodxo始条件全部为零。质量M相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为xo、、 。运动开始后，
dt2dt质量块的受力关系如图解2.3(b)所示，不计M的重力，由牛顿第二定理可得
dxod2xodxrdxoB1(?)?B2?M 2dtdtdtdt整理得
d2xodxodxrM?(B?B)?B 1212dtdtdt等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有
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