例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。
解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。 在R上任取x1、x2，设x1 1，f(x)F(x2)?F(x1)?[f(x2)? 11]?[f(x1)?]f(x2)f(x1)?[f(x2)?f(x1)][1?1],f(x1)f(x2) ∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1， ∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1; ① 若x1 f(x1)f(x2)∴F (x2)< F(x1)； ②若x2 >x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, 1∴1?>0, f(x1)f(x2)∴ F(x2)> F (x1)； 综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。 点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。 题型四：函数的单调区间 例7．（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。 .解：在定义域内任取x1＜x2， ∴f（x1）－f（x2）＝ x?a（a＞b＞0），求f（x）的单调x?bx1?ax2?a(x1?a)(x2?b)?(x1?b)(x2?a) ??x2?bx2?b(x1?b)(x2?b)?(b?a)(x1?x2)， (x1?b)(x2?b)∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0， 只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调． 当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f（x1）－f（x2）＞0． ∴f（x）在（－b，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b）上是单调减函数． 点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。 例8．（1）求函数y?log0.7(x2?3x?2)的单调区间； （2）已知f(x)?8?2x?x,若g(x)?f(2?x)试确定g(x)的单调区间和单调性。 解：（1）函数的定义域为(??,1)?(2,??)， 分解基本函数为y?log0.7t、t?x?3x?2 显然y?log0.7t在(0,??)上是单调递减的，而t?x?3x?2在(??,1),(2,??)上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则： 29 2222 所以函数y?log0.7(x2?3x?2)在(??,1),(2,??)上分别单调递增、单调递减。 （2）解法一：函数的定义域为R， 分解基本函数为g?f(t)??t2?2x?8和t?2?t。 显然g?f(t)??t2?2x?8在(1,??)上是单调递减的，(??,1)上单调递增； 而t?2?x22在(??,0),(0,??)上分别是单调递增和单调递减的。且 2?x2?1?x??1， 根据复合函数的单调性的规则： 所以函数的单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)。 解法二：g(x)?8?2(2?x2)?(2?x2)2??x?2x?8， 42g?(x)??4x3?4x， 令 g?(x)?0，得x??1或0?x?1， 令 g?(x)?0，x?1或?1?x?0 ∴单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)。 点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五：单调性的应用 例9．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 2 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 2 或 log2(x+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤ 1得 4?5?10?5?10≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 22由③④得原不等式的解集为 ?5?10?5?10{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}。 22例10．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m， 使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ?2］都成立？若存在，求出符合条件的所 有实数m的范围，若不存在，说明理由。 解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数， ∴f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)， 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0。 设t=cosθ,则问题等价地转化为函数 m2m2g(t)=t－mt+2m－2=(t－)－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t) 422 在［0，1］上的最小值为正。 m<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0?m>1与m<0不符； 2m2m当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0?4－22 42∴4－22 ∴当 30 当 m>1,即m>2时，g(1)=m－1>0?m>1。 2∴m>2 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－22。 另法(仅限当m能够解出的情况)： cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0,∵当θ∈［0, ?2］恒成立， ?2］恒成立 ?2］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－22，∴m>4－22。 点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。 题型六：最值问题 例11．（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。 （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。 解：（1）当a=0时，函数f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数。 22 当a≠0时，f（a）=a+1，f（－a）=a+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）。 此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。 （2）①当x≤a时，函数f（x）=x2－x+a+1=（x－若a≤ 123）+a+。 24的最小值为f（a）=a2+1。 若a＞f（a）。 1，则函数f（x）在（－∞，a）上单调递减，从而，函数f（x）在（－∞，a）上21131，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（）=+a，且f（）≤ 2242123）－a+。 24②当x≥a时，函数f（x）=x2+x－a+1=（x+若a≤－≤f（a）。 若a＞－ 1131，则函数f（x）在［a，+∞)上的最小值为f（－）=－a，且f（－）22421，则函数f（x）在［a，+∞］上单调递增，从而，函数f（x）在［a，+∞］上213时，函数f（x）的最小值是－a。 24的最小值为f（a）=a2+1。 综上，当a≤－当－ 11＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2+1。 2213当a＞时，函数f（x）的最小值是a+。 24点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解 此题会有较大帮助.因为x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。 例12．设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ 1)。 m?1(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M； 31 (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值； (3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。 (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ 当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+故f(x)的定义域为R。 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+ 1］, m?11>0恒成立， m?11>0。 m?11)＜0，解得m>1，故m∈M。 m?11(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+， m?1∵y=log3u是增函数， ∴当u最小时，f(x)最小。 而u=(x－2m)2+m+ 1， m?11， m?1显然，当x=m时，u取最小值为m+此时f(2m)=log3(m+ 1)为最小值。 m?111(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3， m?1m?1当且仅当m=2时等号成立。 ∴log3(m+ 1)≥log33=1。 m?1点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。 题型七：周期问题 例13．若y=f(2x)的图像关于直线x? ab和x?(b?a)对称，则f(x)的一个周期为（ ） 22a?bb?aA． B．2(b?a) C． D．4(b?a) 22a解：因为y=f(2x)关于x?对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。 2所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。 同理，f(b+2x) =f(b－2x)， 所以f(2b－2x)=f(2x)， 所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。 所以f(2x)的一个周期为2b－2a， 故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。 点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）。 32