??0(x),0?x?a??(x)???1(x),a?x?b (2.8-1)
??(x),b?x?2将(2.8-1)式代入定态薛定谔方程(2-9)中，得到
?h2d2??2mdx2?0(x)?U0?0(x)?E?0(x),0?x?a?22?hd?(x)?U1?1(x)?E?1(x),a?x?b (2.8-2) ??212mdx??h2d2?(x)?E?2(x),b?x??222mdx?由于束缚态能量E?U(?)?0，因此可以定义三个实参数
?0?2m(U0?E)/h2,k?2m(U1?E)/h2,?2??2mE/h2 (2.8-3)
方程(2.8-2)可以简化为
??0''(x)??2?0(x)?0,0?x?a?2??1''(x)?k?1(x)?0,a?x?b (2.8-4) ?2?''(x)???2(x)?0,b?x22?由此解出
??0?Ae?0x?Be??0x,0?x?a???1?Csinkx?Dcoskx,a?x?b (2.8-5) ??2x??2xb?x??2?Fe?Ge,考虑到无穷远边界条件?(?)?0，上式中的系数F必须等于零；在x?0处，波函数的连续性要求?0(x)?0，得到系数关系A?B?0。而在x?a处，波函数满足连接条件
?0(x)??1(x)和?0'(x)??1'(x)；在x?b处，满足连接条件?2(x)??1(x)和
?2'(x)??1'(x)，又得到四个关系式
Ae?0a?Be??0a?Csinka?Dcoska?0Ae?a??0Be??a?kCcoska?kDsinka00Ge??2b?Csinkb?Dcoskb (2.8-6)
??2Ge??2b?kCcoskb?kDsinkb利用系数关系B??A，上式可以化为
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?sinka?coska0??A??2sinh?0a????2?cosh?a?kcoskaksinka000???C??0 (2.8-7) ?0?sinkb?coskbe??2b??D?????2b??0?kcoskbksinkb??e?2??G?由于波函数不能等于零，这要求系数行列式等于零，经过耐心仔细的计算，得到
tank(b?a)?k?0coth?0a?k?2 (2.8-8)
k2??0?2coth?0a上式为束缚态能量所必须满足的条件，与(2.8-4)式联立后即可确定能量本征值。 二解：
方程(2.8-4)的解又可以写为下列形式
??0?Asinh?0x?Bcosh?0x,0?x?a?a?x?b (2.8-9) ??1?Csin(kx??),??2x??2xb?x??2?Fe?Ge,考虑到无穷远边界条件，系数F?0；在x?0处，由连续性条件得到系数B?0。利用波函数连接条件的对数导数形式，即在x?a处，波函数满足连接条件(ln?0)'?(ln?1)'；在x?b处，满足连接条件(ln?1)'?(ln?2)'，得到二个关系式
?0coth(?0a)?kcot(ka??),kcot(kb??)???2 (2.8-10)
上式结合关系(2.8-3)可以确定能量本征值。 【物理讨论】
从表面看，两种解法的结果不同。利用差角公式tan(x?y)?去第二解(2.8-11)式中的参数?，得到
tanx?tany，可以消
1?tanxtanytank(b?a)?tan[(kb??)?(ka??)]??这正是第一解所得到的公式(2.8-8)。
k?0?k?2tanh(?0a) (2.8-11) 2?0?2?ktanh(?0a)§2.3 扩展练习
E2-1 设?1(r,t)和?2(r,t)是体系的两个可能的运动状态，现由?1和?2构成以下波函数
c??c?22，?b?c1?1?c2?2，?c?e ?a?c1?1?c2?21122vv其中c1,c2为常数。问以上这些波函数能否描述体系的状态？为什么？
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【提示】?b是?1,?2的线性叠加态，满足叠加原理，?a和?c所表示的状态不满足态叠加原理。
E2.2 求线性谐振子处于第n个激发态时，在经典界限外被发现的概率。
【提示】经典力学要求粒子的动能T?En?U(x)?0，由此得到经典运动范围为
En?m?1222x?0，即|x|?xm?2En/(m?2)。在经典界限内的概率为?xm?xm|?n|2dx。
E2.3粒子在一维势场中作束缚运动，其基态波函数为??Acosh??kx,??0，求对应的基态能量和势能U(x)。
h【提示】由定态薛定谔方程?2??E?，得到 m?''?U(x)2?''2hhU(x)??E?[?(??1)k2tanh2kx??k2]?E （E2.3-1） 2m?2m2取无穷远为势能零点，即
2hU(?)?[?(??1)k2??k2]?E?0 （E2.3-2） 2m得到
22hE??k?2 （E2.3-3） 2m代回（E2.3-1）式，得到势能为
2222?(??1)2U(x)?h[?(??1)k2tanh2kx??k2]?hk?2??hk （E2.3-4）
2m2m2mcosh2kxE2.4 粒子在宽度为?的一维无限深势阱中运动，在t?0时刻的波函数为?(x,0)?Asin3x，求状态随时间的演化规律。
h2n22,n?Z?，对应的本征函数为?n?【提示】能量本征值为En?sinnx，因此2m?1?(x,0)?14A(3sinx?sin3x)?4A?2(3?1??3)。由归一化条件得到A?45?，因此有
?(x,0)??(x,t)?110(3sinx?sin3x)?110(3?1??3)。由定态波函数的性质和叠加原理，得到
110(3?1e?iE1t/h??3e?iE3t/h)
?0,x?0?E2.5 能量为E的粒子从左边向势垒U(x)??U1,0?x?a运动，求透射系数。
?U,a?x?2 19
【答案】当E?U2时，透射系数D?0；当E?U2时，透射系数
D?4k2/k1 （E2.5-1）
(1?k2/k)2cos2k1a?(k1/k?k2/k1)2sin2k1a2其中k2?2mE/h2,k12?2m(E?U1)/h2,k2?2m(E?U2)/h2.
E2.6 设粒子处于二维无限深势阱V(x,y)???00?x?a,0?y?b，求粒子能量和相应
其它区域??的本征态。如a?b，试讨论前5条能级简并情况。 【提示】用分离变量法，得到能量本征值和对应的本征函数
(x)En,l?En?El(y),?n,l(x,y)??n(x)?l(y),n,l?Z? （E2.6-1）
其中
E(x)n2n?x(y)?2h2l22l?y （E2.6-2） ?,?(x)?sin;E?,?(y)?sinnll222maaa2mbbbE1??2h2n2当a?b时，E1,1?2E1,E1,2?E2,1?5E1,E2,2?8E1,E1,3?E3,1?10E1,?2h22ma2。
E2.7质量为m的粒子在一维势场U(x)?U0tan2(kx)中运动，分别就U0很大和很小两种情况，估算粒子的前几个能级的能量En，并与严格解比较。
【提示】当U0很小时，势场变为宽度为?/k的一维无限深势阱，能级为
h2?2n2h2k2n2En;?,n?1,2,L （E2.7-1） 222m?/k2m当U0很大时，低能级中的粒子只能在原点附近作微振动，这时势场可以近似表示为
22U(x)?U0k2x2?1m?x （E2.7-2） 2其中??V0hk/m，V0?2mU0/h。由此得到
2En?h?(1n?0,1,L （E2.7-3） 2?n),严格解为
h2k211En?(n?4?n?2?),??V0/k2?1n?1,2,L （E2.7-4） 4?4,2m22
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