?2n(x)?Asinn?n?(x?a)?Aein?sinx,n?1,2,L (2.3-14) aa恰好满足本题中势阱内本征函数所要求的方程和边界条件
??''(x)?k2?(x)?0,0?x?a (2.3-15) ???(0)??(a)?0因此本题的解为
?n(x)?Aein?sinn?x,0?x?a,n?1,2,L (2.3-16) a将上面的本征函数代入定态薛定谔方程(2.3-2)式后，立刻能量本征值为
d2?n(x)?2h2n2h2 (2.3-17) En???222m?n(x)dx2ma【物理讨论】
第一解中在得到系数B?0后，另一个系数A?0，否则波函数在全空间中都等于零，对应的粒子不存在。同样，量子数n 也不能等于零，因此粒子的基态为n = 1。
由量子化条件（1-2），得到
??pdq?2a由此解出
2mE?nh,n?N (2.3-18)
h2n2?2h2n2En??,n?0,1,2,L (2.3-19)
8ma22ma2两者相差1个能级。
此外，按照量子力学的结果，粒子的概率分布为
?2wn(x)?|?n(x)|2?asin2nax,0?x?a,n?1,2,L (2.3-20)
但是按照经典力学，在(x,x?dx)区间内找到粒子的概率w(x)dx与该粒子在此区间内逗留的时间成正比，即w(x)dx?dt/T，其中T为粒子运动的周期。考虑到在一个周期中，粒子两次经过同一个位置，于是得到概率密度为
w(x)?2dt2? (2.3-21) TdxTv在本题中，T?2a/v，于是得到w(x)?1/a，为一个与位置和能量都无关的常数。 2.4 证明宽度为2a的一维对称无限深方势阱中本征函数?n(x)的归一化因子是A'?1/a。 【题意分析】
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n???A'sin2a(x?a),|x|?a已知条件：本征函数为?n(x)?? (2.4-1)
0,|x|?a??待求问题：归一化因子A'； 相互联系：归一化条件
????|?(x)|2dx?1 (2.4-2)
【求解过程】
将本征函数(2.4-1)式代入归一化条件，得到
?????2?ndx??|A|si2na?2an?2a?x(2a)d?x?|A?|a
1由此得到归一化因子A??又解：
1i?e 。 a 从物理上看，一维无限深方势阱中运动粒子的能级和归一化因子完全由势阱的宽度决定，与势阱在x轴上所处的位置无关。由上题，势阱宽度为a时归一化因子为2/a，因此当势阱宽度为2a时，归一化因子应该为2/(2a)?1/a。 【物理讨论】
一般来说，归一化因子可以是复数，其幅角部分称为相因子。本题中归一化因子的模为a，相因子为e，其中幅角?可以取任意实数。相因子中幅角的取值既不影响系统的概率密度和概率流密度，也不影响能量、动量等物理量，没有可以观察的物理效应。因此，为了简单起见，通常忽略归一化因子中的相因子，即把幅角取为零。这样，本题中的归一化因子成为A'?1/a。
在本题中，所有本征函数的归一化因子都相同，这是一个非常特殊的情况。在一般情况下，归一化因子随量子数n的变化而改变。 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。 【题意分析】
已知条件：一维谐振子第一激发态的波函数
1??x??(x)??2?xe2 (2.5-1)
2?22i?待求问题：求xm，使得w(xm)?maxx?Rw(x)； 相互联系：w(x)?|?(x)|。
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【求解过程】
由定义，概率密度为
w(x)?|?(x)|?22?3??x2e??22x (2.5-2)
满足束缚态条件w(??)?0。由极值条件
w'(x)?2?3??(2x?2?x)e23??2x2?0 (2.5-3)
x??1?/。容易验证，在驻点处有w\?0，得到概率密度函数的驻点为x?0, w\?1/?)?0。于是得知，当x??1/?时概率密度函数取极大值，在本题中也是最大值。
又解：
在物理学中常常考察物理量的相对变化率y'(x)/y(x)，它往往比变化率y'(x)更有意义。相对变化率可以表示成对数导数的形式，即y'(x)/y(x)?[lny(x)]'，计算很方便。从数学的角度看，对数函数是单调增函数，能够保持函数的增减性，不改变极值点的性质和位置。在本题中我们也可以用概率密度的对数导数来进行分析，即计算
[lnw(x)]'?[ln2?3??2lnx??2x2]'?2?2?2x?0 (2.5-3) x立刻得到x??1/?。 【物理讨论】
数学上可以证明，在一维势场中运动的束缚态粒子，基态在区域内部没有零点，第n个激发态有n个零点（不包括边界上的两个零点），这个结论称为零点定理。概率密度函数为波函数的模方，因此也有n个零点，加上边界上的2个零点，一共有n+2个零点，即最小值。连续函数的两个相邻最小值之间有一个极大值，因此第n个能量本征态的概率密度具有n+1个极大值。由下题可知，一维束缚态的本征函数具有确定的宇称，对应的概率密度为偶函数，其极大值的分布关于y轴对称。在本题的情况下，n = 1，因此概率密度有2个极大值，对称地分布在原点的两侧。
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称. 【题意分析】
已知条件：粒子在一维势场U(x)中运动，U(?x)?U(x)。 待证问题：本征函数具有确定的宇称，即?(?x)???(x) 相互联系：本征函数满足定态薛定谔方程
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h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) (2.6-1) ?2mdx2【求解过程】
对定态薛定谔方程进行空间反演，即把x换成?x，得到
h2d2?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) (2.6-2) ?22mdx计算中已经利用了势能的对称性。与(2.6-1)式比较后，可以看出?(?x)也是定态薛定谔方程的一个解，即也是本征函数，与?(x)对应于同一个本征值E。 如果?(?x)与?(x)线性相关，即
?(?x)?c?(x) (2.6-3) 在上式中再把x换成?x，得到
?(x)?c?(?x)?c2?(x) (2.6-4)
2由于波函数不能恒等于零，上式给出了条件c?1，即c??1。代入到(2.6-3)式后，得到
( ) (2.6-5) ?(?x)???x 如果?(?x)与?(x)线性无关，则可以线性组合成两个新的独立本征函数
?e(x)??(x)??(?x) (2.6-6)
?o(x)??(x)??(?x)容易验证
?e(?x)???e(x) (2.6-7)
?o(?x)???o(x)由此说明了粒子的定态波函数具有确定的宇称。 【物理讨论】
在一维束缚态的情况下，波函数不存在简并现象，这时?(?x)与?(x)描写了同一个能量本征态，它们之间线性相关，故?(x)只能是奇函数或偶函数。由于第n个能级的波函数有n个零点，因此在对称势阱中，与偶数能级对应的波函数是偶函数；与奇数能级对应的波函数是奇函数。
在一维散射态的情况下，波函数存在简并现象，这时?(?x)与?(x)可以描写同一个能
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