iiiivv?EtEtihv?hEtv?hEt*v*vhhJ(r,t)?[?(r)e??(r)e??(r)e??(r)e]2m (2.1-2)
vihvvvvv?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]?J(r)2m容易看出，由上式得出的结果与时间无关。 又解：
定态波函数满足关系ih??tvv*v*v??(r,t)?E?(r,t)和ih??(r,t)??E?(r,t)，因此有 tv?J?ih[????*?????*???*????*???]?t2m?t?t?t?t (2.1-3)
1?[E???*?E???*?E?*???E?*??]?02m【物理讨论】
不能简单地由定态中概率密度w?|?(r)|2不随时间变化，就推断概率流密度也不随时间变化，粒子流绕z轴对称均匀加速转动就是一个相反的例子。定态中概率流密度不随时间变化有更深刻的原因。按(2-7)式，概率流密度可以变形为
vvihihw?hwJ??(????ln??????ln??)???ln???? (2.1-4)
2m2m?mvv其中??Arg?为波函数?的位相，即幅角。将上式与经典的粒子流密度J?wv比较，量
子力学中的h??/m对应于经典运动的速度。
(2.1-4)式表明概率流密度完全由波函数的位相决定，与波函数的模无关。在定态的情况下，波函数的位相??Arg?(r)?Et/h，因此????Arg?(r)与时间无关。这表明在定态中，概率流动的速度是稳定的。
也不能由定态中概率密度w?|?(r)|2不随时间变化，就推断概率流密度为零，定向传播的平面波就是一个相反的例子。 2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度:
(1) ?1?vvv1ikr1e, (2) ?2?e?ikr rr从所得结果说明?1表示向外传播的球面波, ?2表示向内(即向原点)传播的球面波. 【题意分析】
已知条件：粒子处于定态，定态波函数分别为?1??1(r)和?2??2(r)；
vv待求问题：对应的概率流密度J(r)；
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相互联系：概率流密度与定态波函数之间满足关系式
vvihvvvvJ(r)?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)] (2.2-1)
2m【求解过程】
将定态波函数?1代入(2.2-1)式，利用梯度算符在球坐标中的表示形式（附录A），得到
vvihvvvvJ1(r)?[?1(r)??1*(r)??1*(r)??1(r)]2mih1ikrv?1?ikr1?ikrv?1ikr?[eer(e)?eer(e)] (2.2-2) 2mr?rrr?rrih1ik1ikvhkv?[(?2?)?(?2?)]er?2er2mrrrrrmr同理可得
vvihhkvvv*v*vJ2(r)?[?2(r)??2(r)??2(r)??2(r)]??2er (2.2-3)
2mmr上式也可以通过在定态波函数的表达式?1?eikr/r中作变换k??k直接得到。 又解：
根据已知条件，定态波函数?1的模为u1?1/r，位相为?1?kr，代入简化后的概率流密度公式(2.1-4)中，立即得到
vvvhu12(r)hkvvJ1(r)???1(r)?er (2.2-4)
mmr2同理可计算出J2(r)。 【物理讨论】
本题中，概率流密度与角度变量?和?无关，具有球对称性。J1(r)与径向单位向量er同方向，表示向外传播的球面波；J2(r)与径向单位向量er反方向，表示向内传播的球面波。
对于状态?1，单位时间通过球面r?a向外传出的概率分别为
vvvvvvI(a)?乙??r?avvJ1(r)dS???r?ahkvvhk4?hk2edS??4?a? (2.2-5) 2r2mrmam这个概率值不随球面半径的大小变化，说明进入任意球壳层中的概率与流出的概率总是相等的，即任意球壳层中的概率不变。然而，对于半径任意小的球面，总是有概率向外流出，这表明在原点处有一个强度为4?hk/m的概率源。同理，状态?2中在原点处有一个强度为
?4?hk/m的概率源（即概率汇）。
2.3 一粒子在一维势场
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??,x?0,x?aU(x)???0,0?x?a【题意分析】
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.
已知条件：粒子处于一维无限深方势阱U(x)中运动； 待求问题：粒子的能量本征值En和定态波函数?n(x,t)； 相互联系：定态波函数?n(x,t)??n(x)e足定态薛定谔方程
?iEnt/h，其空间部分?n(x)和能量本征值En满
h2d2??(x)?U(x)?(x)?E?(x) (2.3-1) 2mdx2【求解过程】
因为势场U(x)是分段函数，本征函数?(x)也应分段考虑。在x?0,x?a区间内，
U(x)??，而能量为有限值，定态薛定谔方程要求?(x)?0；在x?0,x?a区间内，U(x)?0，(2.3-1)成为
?''(x)?k2?(x)?0,0?x?a (2.3-2)
其中k?2mE/h2 (2.3-3)
方程(2.3-2)的通解为
?(x)?Asinkx?Bcoskx (2.3-4)
由波函数在x?0与x?a处的连续性条件得到
?(0)??(a)?0 (2.3-5)
将通解(2.3-4)代入条件(2.3-5)，有
?(0)?Asin0?Bcos0?0
?(a)?Asinka?Bcoska?0由上面第一式得到B?0，代入第二式后解出
k?n?/a,n?1,2,L (2.3-6)
将(2.3-6)式代入(2.3-3)式，得到能量本征值
E?h2k2/(2m)?h2n2?2/(2ma2),n?1,2,L (2.3-7)
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将(2.3-6)式代入 (2.3-4)式中，得到本征函数
?Asin(n?x/a),0?x?a (2.3-8) ?n(x)??0,x?0,x?a?其中常数A由归一化条件确定，即
?a???|?(x)|2dx??|?n(x)|2dx?1
0由此得到归一化系数A?2/a。
?iEnt/h定态波函数为?n(x,t)??n(x)e又解：
。
对于宽度为2b的对称一维无限深方势阱
?0,|x|?b (2.3-9) U(x)????,|x|?b在该势场中运动粒子的能级为（见参考文献【1】§2.6节）
En(b)?对应的本征函数为
?2h2n28mb2,n?1,2,L (2.3-10)
n??1(x?b),|x|?b?sin (2.3-11) ?n(x,b)??b2b?0,|x|?b?本题中研究的是宽度为a的一维无限深方势阱，如果在上述势阱中取2b = a，并把势阱的位置向x轴正向平移b，就成为本题的情况。由于能量本征值的大小与势阱的位置无关，因此在能级表达式(2.3-10)中取2b = a，就得到本题情况下的能级
En?E(a)?1n2?2h2n22ma2,n?1,2,L (2.3-12)
将表达式(2.3-11)中的本征函数向x轴正向平移b，再取2b = a，就得到本题情况下的本征函数
n??1sinx,|x?1a|?122a?111a?n(x)??n(x?2a,2a)??2a (2.3-13)
?10,|x?1?2a|?2a三解：
注意到本题中势阱恰好是宽度为2a的对称一维无限深方势阱的一半，对称一维无限深方势阱中的奇宇称本征函数
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