第二章 波函数和薛定谔方程
§2.1 学习指导
本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。
根据实验，微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,t)与位相?(r,t)来描述，
vvvi?(r它们可以统一写为?(r,t)?A(r,t)e,t)，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数
vvvv?(r,t)来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。经典情况下，模方|?(r,t)|2表示波的
强度；量子情况下，|?(r,t)|2表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。
波函数随时间的变化由薛定谔方程确定。按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态。在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。
真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动。近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。
本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1）波函数
波函数?(r,t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。实际体系波函数满足平方可积条件，即2）波函数的意义
波函数的模方
vv???v2?(r,t)d??N2??。
vv2w(r,t)??(r,t) （2-1）
给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件
v???v2?(r,t)d??1 (2-2)
未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。 3）波函数的性质
1
波函数?(r,t)满足叠加原理，如果?i(r,t),i?1,2,L为微观粒子的可能状态，则
?(r,t)?也是一个可能的状态。 2. 微观状态的演化 1）薛定谔方程
状态?(r,t)随时间演化满足薛定谔方程 ihvvv?iivc?i(r,t),ic? C (2-3)
v?vv?(r,t)??H?(r, t ) (2-4) ?t2v???h?2?U(r,t) (2-5) 其中 H2m称为哈密顿算符，U(r,t)是势能。若已知初始状态?(r,0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态?(r,t)。 2）连续性方程
由薛定谔方程可以推出连续性方程
vvvv?w??J??0 (2-6) ?tvih(?????????) (2-7) 其中J??2m称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率。连续性方程是概率守恒定律的定域表现。 3）定态薛定谔方程
?不显含时间，即势场U不含t时，薛定谔方程可以分离变量，得到 若体系的哈密顿Hvv?hEt定态波函数解 ?E(r,t)??E(r)e (2-8)
其中E为能量本征值，?E(r)为对应的本征函数，满足定态薛定谔方程
ivh22vvvv??E(r)?U(r)?E(r)?E?E(r) (2-9) ?2m3. 一维束缚定态问题 1）问题的描述
一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成
2
?h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)??2 (2-10) 2mdx?x????(x)????0?其中束缚态能量满足条件E?U(??)。 2）束缚定态解的性质
束缚定态中的能量取值不连续，形成能级。同一能级只对应一个本征函数，无简并现象。第n个能级En,n?N对应的本征函数?n(x)有n个内部零点（不包括边界）。
束缚态本征函数?n(x)可以归一化，归一化后的本征函数满足正交归一性
????*?m(x)?n(x)dx??m,n (2-11)
本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数?(x)都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即
?(x)??ncn?n(x) (2-12)
其中展开系数为
*cn???n(x)?(x)dx (2-13)
???3）典型实例：一维简谐振子
一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为
U(x)?2kx?2m?x (2-14) 在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为
12122En?(n?1)h?,n?N (2-15) 2对应的本征函数为
?n(x)?Nne1??2x22Hn(?x) (2-16)
其中Hn(x)为厄密多项式，参数??m?/h，归一化系数 Nn??/简谐振子的本征函数满足递推关系
?2nn!。
x?n(x)?1?[n?(x)?2n?1n?12?n?1(x)] (2-17)
d?n(x)??[n?(x)?2n?1dx4. 一维散射问题 1）问题的描述
n?12?n?1(x)]3
以能量E?U(??)自左边向势场U(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条件
?h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)??2 (2-18) ?2mdxx???x????(x)????Aeikx?A'e?ikx,?(x)????Ceik'x?其中k?2m[E?U(??)]/h2为入射波波数，k?2m[E?U(??)]/h2为透射波波数。
2）问题的意义
在上面的问题中，入射波的概率流密度为J?hk|A|2/m，反射波的概率流密度为
JR??hk|A'|2/m，透射波的概率流密度为JD?hk'|C|2/m。由此得到反射系数R和
透射系数D分别为
JR|A'|2JDk'|C|2 (2-19) R?||?,D?||??22J|A|Jk|A|3）典型实例：粒子对方势垒的透射
能量为E的粒子入射到一个宽度为a，高度为U0的方形势垒
?U0,0?x?aU(x)?? (2-20)
0,x?0,x?a?反射系数和透射系数分别为
22(k12?k2)sin2k2a4k12k2，D?2 (2-21) R?22222(k1?k2)sin2k2a?4k12k2(k1?k2)sin2k2a?4k12k2其中 k1?2mE/h2,k2?2m(E?U0)/h2。
§2.2 习题分析与求解
2.1 证明在定态中, 概率流密度与时间无关. 【题意分析】
vv?Et已知条件：粒子处于定态，波函数为?(r,t)??(r)eh (2.1-1) v待证问题：概率流密度J与时间无关；
相互联系：概率流密度与波函数之间具有关系（2-7） 【求解过程】
将定态波函数的一般形式(2.1-1)式代入概率流密度公式(2-7)，得到
i 4
iiiivv?EtEtihv?hEtv?hEt*v*vhhJ(r,t)?[?(r)e??(r)e??(r)e??(r)e]2m (2.1-2)
vihvvvvv?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]?J(r)2m容易看出，由上式得出的结果与时间无关。 又解：
定态波函数满足关系ih??tvv*v*v??(r,t)?E?(r,t)和ih??(r,t)??E?(r,t)，因此有 tv?J?ih[????*?????*???*????*???]?t2m?t?t?t?t (2.1-3)
1?[E???*?E???*?E?*???E?*??]?02m【物理讨论】
不能简单地由定态中概率密度w?|?(r)|2不随时间变化，就推断概率流密度也不随时间变化，粒子流绕z轴对称均匀加速转动就是一个相反的例子。定态中概率流密度不随时间变化有更深刻的原因。按(2-7)式，概率流密度可以变形为
vvihihw?hwJ??(????ln??????ln??)???ln???? (2.1-4)
2m2m?mvv其中??Arg?为波函数?的位相，即幅角。将上式与经典的粒子流密度J?wv比较，量
子力学中的h??/m对应于经典运动的速度。
(2.1-4)式表明概率流密度完全由波函数的位相决定，与波函数的模无关。在定态的情况下，波函数的位相??Arg?(r)?Et/h，因此????Arg?(r)与时间无关。这表明在定态中，概率流动的速度是稳定的。
也不能由定态中概率密度w?|?(r)|2不随时间变化，就推断概率流密度为零，定向传播的平面波就是一个相反的例子。 2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度:
(1) ?1?vvv1ikr1e, (2) ?2?e?ikr rr从所得结果说明?1表示向外传播的球面波, ?2表示向内(即向原点)传播的球面波. 【题意分析】
已知条件：粒子处于定态，定态波函数分别为?1??1(r)和?2??2(r)；
vv待求问题：对应的概率流密度J(r)；
5
相互联系：概率流密度与定态波函数之间满足关系式
vvihvvvvJ(r)?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)] (2.2-1)
2m【求解过程】
将定态波函数?1代入(2.2-1)式，利用梯度算符在球坐标中的表示形式（附录A），得到
vvihvvvvJ1(r)?[?1(r)??1*(r)??1*(r)??1(r)]2mih1ikrv?1?ikr1?ikrv?1ikr?[eer(e)?eer(e)] (2.2-2) 2mr?rrr?rrih1ik1ikvhkv?[(?2?)?(?2?)]er?2er2mrrrrrmr同理可得
vvihhkvvv*v*vJ2(r)?[?2(r)??2(r)??2(r)??2(r)]??2er (2.2-3)
2mmr上式也可以通过在定态波函数的表达式?1?eikr/r中作变换k??k直接得到。 又解：
根据已知条件，定态波函数?1的模为u1?1/r，位相为?1?kr，代入简化后的概率流密度公式(2.1-4)中，立即得到
vvvhu12(r)hkvvJ1(r)???1(r)?er (2.2-4)
mmr2同理可计算出J2(r)。 【物理讨论】
本题中，概率流密度与角度变量?和?无关，具有球对称性。J1(r)与径向单位向量er同方向，表示向外传播的球面波；J2(r)与径向单位向量er反方向，表示向内传播的球面波。
对于状态?1，单位时间通过球面r?a向外传出的概率分别为
vvvvvvI(a)?乙??r?avvJ1(r)dS???r?ahkvvhk4?hk2edS??4?a? (2.2-5) 2r2mrmam这个概率值不随球面半径的大小变化，说明进入任意球壳层中的概率与流出的概率总是相等的，即任意球壳层中的概率不变。然而，对于半径任意小的球面，总是有概率向外流出，这表明在原点处有一个强度为4?hk/m的概率源。同理，状态?2中在原点处有一个强度为
?4?hk/m的概率源（即概率汇）。
2.3 一粒子在一维势场
6
??,x?0,x?aU(x)???0,0?x?a【题意分析】
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.
已知条件：粒子处于一维无限深方势阱U(x)中运动； 待求问题：粒子的能量本征值En和定态波函数?n(x,t)； 相互联系：定态波函数?n(x,t)??n(x)e足定态薛定谔方程
?iEnt/h，其空间部分?n(x)和能量本征值En满
h2d2??(x)?U(x)?(x)?E?(x) (2.3-1) 2mdx2【求解过程】
因为势场U(x)是分段函数，本征函数?(x)也应分段考虑。在x?0,x?a区间内，
U(x)??，而能量为有限值，定态薛定谔方程要求?(x)?0；在x?0,x?a区间内，U(x)?0，(2.3-1)成为
?''(x)?k2?(x)?0,0?x?a (2.3-2)
其中k?2mE/h2 (2.3-3)
方程(2.3-2)的通解为
?(x)?Asinkx?Bcoskx (2.3-4)
由波函数在x?0与x?a处的连续性条件得到
?(0)??(a)?0 (2.3-5)
将通解(2.3-4)代入条件(2.3-5)，有
?(0)?Asin0?Bcos0?0
?(a)?Asinka?Bcoska?0由上面第一式得到B?0，代入第二式后解出
k?n?/a,n?1,2,L (2.3-6)
将(2.3-6)式代入(2.3-3)式，得到能量本征值
E?h2k2/(2m)?h2n2?2/(2ma2),n?1,2,L (2.3-7)
7
将(2.3-6)式代入 (2.3-4)式中，得到本征函数
?Asin(n?x/a),0?x?a (2.3-8) ?n(x)??0,x?0,x?a?其中常数A由归一化条件确定，即
?a???|?(x)|2dx??|?n(x)|2dx?1
0由此得到归一化系数A?2/a。
?iEnt/h定态波函数为?n(x,t)??n(x)e又解：
。
对于宽度为2b的对称一维无限深方势阱
?0,|x|?b (2.3-9) U(x)????,|x|?b在该势场中运动粒子的能级为（见参考文献【1】§2.6节）
En(b)?对应的本征函数为
?2h2n28mb2,n?1,2,L (2.3-10)
n??1(x?b),|x|?b?sin (2.3-11) ?n(x,b)??b2b?0,|x|?b?本题中研究的是宽度为a的一维无限深方势阱，如果在上述势阱中取2b = a，并把势阱的位置向x轴正向平移b，就成为本题的情况。由于能量本征值的大小与势阱的位置无关，因此在能级表达式(2.3-10)中取2b = a，就得到本题情况下的能级
En?E(a)?1n2?2h2n22ma2,n?1,2,L (2.3-12)
将表达式(2.3-11)中的本征函数向x轴正向平移b，再取2b = a，就得到本题情况下的本征函数
n??1sinx,|x?1a|?122a?111a?n(x)??n(x?2a,2a)??2a (2.3-13)
?10,|x?1?2a|?2a三解：
注意到本题中势阱恰好是宽度为2a的对称一维无限深方势阱的一半，对称一维无限深方势阱中的奇宇称本征函数
8
?2n(x)?Asinn?n?(x?a)?Aein?sinx,n?1,2,L (2.3-14) aa恰好满足本题中势阱内本征函数所要求的方程和边界条件
??''(x)?k2?(x)?0,0?x?a (2.3-15) ???(0)??(a)?0因此本题的解为
?n(x)?Aein?sinn?x,0?x?a,n?1,2,L (2.3-16) a将上面的本征函数代入定态薛定谔方程(2.3-2)式后，立刻能量本征值为
d2?n(x)?2h2n2h2 (2.3-17) En???222m?n(x)dx2ma【物理讨论】
第一解中在得到系数B?0后，另一个系数A?0，否则波函数在全空间中都等于零，对应的粒子不存在。同样，量子数n 也不能等于零，因此粒子的基态为n = 1。
由量子化条件（1-2），得到
??pdq?2a由此解出
2mE?nh,n?N (2.3-18)
h2n2?2h2n2En??,n?0,1,2,L (2.3-19)
8ma22ma2两者相差1个能级。
此外，按照量子力学的结果，粒子的概率分布为
?2wn(x)?|?n(x)|2?asin2nax,0?x?a,n?1,2,L (2.3-20)
但是按照经典力学，在(x,x?dx)区间内找到粒子的概率w(x)dx与该粒子在此区间内逗留的时间成正比，即w(x)dx?dt/T，其中T为粒子运动的周期。考虑到在一个周期中，粒子两次经过同一个位置，于是得到概率密度为
w(x)?2dt2? (2.3-21) TdxTv在本题中，T?2a/v，于是得到w(x)?1/a，为一个与位置和能量都无关的常数。 2.4 证明宽度为2a的一维对称无限深方势阱中本征函数?n(x)的归一化因子是A'?1/a。 【题意分析】
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n???A'sin2a(x?a),|x|?a已知条件：本征函数为?n(x)?? (2.4-1)
0,|x|?a??待求问题：归一化因子A'； 相互联系：归一化条件
????|?(x)|2dx?1 (2.4-2)
【求解过程】
将本征函数(2.4-1)式代入归一化条件，得到
?????2?ndx??|A|si2na?2an?2a?x(2a)d?x?|A?|a
1由此得到归一化因子A??又解：
1i?e 。 a 从物理上看，一维无限深方势阱中运动粒子的能级和归一化因子完全由势阱的宽度决定，与势阱在x轴上所处的位置无关。由上题，势阱宽度为a时归一化因子为2/a，因此当势阱宽度为2a时，归一化因子应该为2/(2a)?1/a。 【物理讨论】
一般来说，归一化因子可以是复数，其幅角部分称为相因子。本题中归一化因子的模为a，相因子为e，其中幅角?可以取任意实数。相因子中幅角的取值既不影响系统的概率密度和概率流密度，也不影响能量、动量等物理量，没有可以观察的物理效应。因此，为了简单起见，通常忽略归一化因子中的相因子，即把幅角取为零。这样，本题中的归一化因子成为A'?1/a。
在本题中，所有本征函数的归一化因子都相同，这是一个非常特殊的情况。在一般情况下，归一化因子随量子数n的变化而改变。 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。 【题意分析】
已知条件：一维谐振子第一激发态的波函数
1??x??(x)??2?xe2 (2.5-1)
2?22i?待求问题：求xm，使得w(xm)?maxx?Rw(x)； 相互联系：w(x)?|?(x)|。
2 10
【求解过程】
由定义，概率密度为
w(x)?|?(x)|?22?3??x2e??22x (2.5-2)
满足束缚态条件w(??)?0。由极值条件
w'(x)?2?3??(2x?2?x)e23??2x2?0 (2.5-3)
x??1?/。容易验证，在驻点处有w\?0，得到概率密度函数的驻点为x?0, w\?1/?)?0。于是得知，当x??1/?时概率密度函数取极大值，在本题中也是最大值。
又解：
在物理学中常常考察物理量的相对变化率y'(x)/y(x)，它往往比变化率y'(x)更有意义。相对变化率可以表示成对数导数的形式，即y'(x)/y(x)?[lny(x)]'，计算很方便。从数学的角度看，对数函数是单调增函数，能够保持函数的增减性，不改变极值点的性质和位置。在本题中我们也可以用概率密度的对数导数来进行分析，即计算
[lnw(x)]'?[ln2?3??2lnx??2x2]'?2?2?2x?0 (2.5-3) x立刻得到x??1/?。 【物理讨论】
数学上可以证明，在一维势场中运动的束缚态粒子，基态在区域内部没有零点，第n个激发态有n个零点（不包括边界上的两个零点），这个结论称为零点定理。概率密度函数为波函数的模方，因此也有n个零点，加上边界上的2个零点，一共有n+2个零点，即最小值。连续函数的两个相邻最小值之间有一个极大值，因此第n个能量本征态的概率密度具有n+1个极大值。由下题可知，一维束缚态的本征函数具有确定的宇称，对应的概率密度为偶函数，其极大值的分布关于y轴对称。在本题的情况下，n = 1，因此概率密度有2个极大值，对称地分布在原点的两侧。
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称. 【题意分析】
已知条件：粒子在一维势场U(x)中运动，U(?x)?U(x)。 待证问题：本征函数具有确定的宇称，即?(?x)???(x) 相互联系：本征函数满足定态薛定谔方程
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h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) (2.6-1) ?2mdx2【求解过程】
对定态薛定谔方程进行空间反演，即把x换成?x，得到
h2d2?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) (2.6-2) ?22mdx计算中已经利用了势能的对称性。与(2.6-1)式比较后，可以看出?(?x)也是定态薛定谔方程的一个解，即也是本征函数，与?(x)对应于同一个本征值E。 如果?(?x)与?(x)线性相关，即
?(?x)?c?(x) (2.6-3) 在上式中再把x换成?x，得到
?(x)?c?(?x)?c2?(x) (2.6-4)
2由于波函数不能恒等于零，上式给出了条件c?1，即c??1。代入到(2.6-3)式后，得到
( ) (2.6-5) ?(?x)???x 如果?(?x)与?(x)线性无关，则可以线性组合成两个新的独立本征函数
?e(x)??(x)??(?x) (2.6-6)
?o(x)??(x)??(?x)容易验证
?e(?x)???e(x) (2.6-7)
?o(?x)???o(x)由此说明了粒子的定态波函数具有确定的宇称。 【物理讨论】
在一维束缚态的情况下，波函数不存在简并现象，这时?(?x)与?(x)描写了同一个能量本征态，它们之间线性相关，故?(x)只能是奇函数或偶函数。由于第n个能级的波函数有n个零点，因此在对称势阱中，与偶数能级对应的波函数是偶函数；与奇数能级对应的波函数是奇函数。
在一维散射态的情况下，波函数存在简并现象，这时?(?x)与?(x)可以描写同一个能
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量的两个不同的状态。它们能够组合成奇本征函数和偶本征函数，分别有确定的宇称。 2.7 一粒子在一维势阱
?U?0,|x|?a, U(x)??0|x|?a?0,中运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程. 【题意分析】
已知条件：粒子处于一维有限深对称方势阱U(x)中运动； 待求问题：粒子的束缚态能级En； 相互联系：定态薛定谔方程（1-9）式 【求解过程】
因为势场U(x)是不连续的分段函数，我们将待求的本征函数?(x)也表示为分段形式
???(x),x??a??(x)???(x),|x|?a (2.7-1)
??(x),x?a??将(2.7-1)式代入定态薛定谔方程（1-9）中，得到
?h2d2??2mdx2??(x)?U0??(x)?E??(x),x??a?22?hd?(x)?E?(x),|x|?a (2.7-2) ??22mdx??h2d2?(x)?U0??(x)?E??(x),x?a??2?2mdx?由于束缚态能量满足条件0?E?U0，因此可以定义两个实参数
k?2mE/h2,??2m(U0?E)/h2 (2.7-3)
方程(2.7-2)可以简化为
???''(x)??2??(x)?0,x??a?2??''(x)?k?(x)?0,|x|?a (2.7-4) ??''(x)??2?(x)?0,x?a???由此解出
????Ae?x?Be??x,x??a????Csinkx?Dcoskx,|x|?a (2.7-5) ???Fe?x?Ge??x,x?a??
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考虑到束缚态波函数满足无穷远边界条件?(??)?0，上式中的系数B和F都必须等于零。在x??a处，波函数满足连接条件??(x)??(x)和??'(x)??'(x)；在x?a处，满足连接条件??(x)??(x)和??'(x)??'(x)，于是得到四个关系式
Ae??a??Csinka?Dcoska?Ae??a?kCcoska?kDsinkaGe??a?Csinka?Dcoska (2.7-6)
??Ge??a?kCcoska?kDsinka上式可以化为矩阵形式
?e??a???a??e?0??0?e??a?e??a00??A?????kcoska?ksinka0??C??0 (2.7-7) ??a???D?sinka?coskae????kcoskaksinka??e??a???G?sinka?coska0sinka?coska?kcoska?ksinka?sinka?kcoska?coskaksinkae00??a由于波函数不能等于零，上面的方程应该有非零解，这要求系数行列式等于零，即
?0 (2.7-8)
??e??a经过仔细的计算，得到
(?2?k2)sinkacoska?k?(cos2ka?sin2ka)?0 (2.7-9)
上式可以简化为
k2??2?2k?cot2ka (2.7-10)
这就是束缚态能量所必须满足的条件，将关系(2.7-3)代入(2.7-10)式后即可确定能量本征值。 又解：
方程(2.7-4)的解又可以表示为
????Ae?x?Be??x,x??a????Csin(kx??),|x|?a (2.7-11) ???Fe?x?Ge??x,x?a??无穷远边界条件要求系数B和F都必须等于零。在x?a处，波函数满足连接条件
??(x)??(x)和??'(x)??'(x)，当?(a)?0时，这两个条件可以归结为对数导数连接条件
(ln??)'?(ln?)'；同理，在x??a处，满足连接条件(ln??)'?(ln?)'，于是得到二个关
系式
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???kcot(ka??) (2.7-12)
??kcos(?ka??)上式为束缚态能量所必须满足的条件。 三解：
由于势阱具有对称性，因此束缚态本征函数具有确定的宇称。这样，我们不需要在全空间对薛定谔方程求解，只要考虑x?0时的情况。这时，方程(2.7-4)可以简化为
2???''(x)?k?(x)?0,0?x?a (2.7-13) ?2????''(x)????(x)?0,x?a在奇宇称的情况下，?(0)?0；结合无穷远条件?(?)?0，得到解函数
???Csinkx,0?x?a (2.7-14) ???xx?a????Ge,由x?a处的对数导数连接条件(ln??)'?(ln?)'，得到确定奇宇称能级的关系式
???kcotka (2.7-15)
在偶宇称的情况下，?'(0)?0；结合无穷远条件?(?)?0，得到解函数
???Dcoskx,0?x?a (2.7-16) ???x??Ge,x?a??由x?a处的连接条件(ln??)'?(ln?)'，得到确定偶宇称能级的关系式
????ktanka (2.7-17)
【物理讨论】
在第二解(2.7-12)式中，利用正切函数的和角公式cot(x?y)?去参数?，得到
cotxcoty?1，可以消
cotx?coty?2?k2cot2ka?cot[(ka??)?(ka??)]? (2.7-18)
?2k?这正是第一解中的结果。
将第一解中得到的束缚态能量条件(2.7-9)因式分解为
coskasinka(??ktanka)(??kcotka)?0 (2.7-19)
可见与第三解的结果(2.7-15)和(2.7-17)两式等价，但是第三解的物理意义更明显。
为了便于具体考察束缚态能级的性质，我们定义无量纲变量u?2mU0a2/h2，
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??ka，于是有
???a?u2??2 (2.7-20)
(2.7-17)式成为
???tan? (2.7-21)
联立(2.7-20)与(2.7-21)式就可以确定???的数值，这可以通过作图法得到。例如取
u?10，利用Mathematica命令
Plot[{Sqrt[u^2-?^2],? Tan[?]},{?,0,u}] 得到图形
20102468101020 图中出现了4个交点，对应4个能级。对偶宇称情况，当n??u?(n?1)?,n?N时，存在n?1个能级。对于奇宇称情况，可以类似讨论。 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为
x?0??,?U,0?x?a?0U(x)??
??U1,a?x?b?b?x?0,求束缚态的能级所满足的方程. 【题意分析】
已知条件：粒子处于一维势阱U(x)中运动；
待求问题：粒子的束缚态能量本征值E所满足的方程； 相互联系：定态薛定谔方程(2-9) 。 【求解过程】
因为势场U(x)是不连续的分段函数，我们将本征函数?(x)也表示为分段形式。考虑到在区间x?0内势能为无穷大，因此?(x)?0。在x?0区间内
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??0(x),0?x?a??(x)???1(x),a?x?b (2.8-1)
??(x),b?x?2将(2.8-1)式代入定态薛定谔方程(2-9)中，得到
?h2d2??2mdx2?0(x)?U0?0(x)?E?0(x),0?x?a?22?hd?(x)?U1?1(x)?E?1(x),a?x?b (2.8-2) ??212mdx??h2d2?(x)?E?2(x),b?x??222mdx?由于束缚态能量E?U(?)?0，因此可以定义三个实参数
?0?2m(U0?E)/h2,k?2m(U1?E)/h2,?2??2mE/h2 (2.8-3)
方程(2.8-2)可以简化为
??0''(x)??2?0(x)?0,0?x?a?2??1''(x)?k?1(x)?0,a?x?b (2.8-4) ?2?''(x)???2(x)?0,b?x22?由此解出
??0?Ae?0x?Be??0x,0?x?a???1?Csinkx?Dcoskx,a?x?b (2.8-5) ??2x??2xb?x??2?Fe?Ge,考虑到无穷远边界条件?(?)?0，上式中的系数F必须等于零；在x?0处，波函数的连续性要求?0(x)?0，得到系数关系A?B?0。而在x?a处，波函数满足连接条件
?0(x)??1(x)和?0'(x)??1'(x)；在x?b处，满足连接条件?2(x)??1(x)和
?2'(x)??1'(x)，又得到四个关系式
Ae?0a?Be??0a?Csinka?Dcoska?0Ae?a??0Be??a?kCcoska?kDsinka00Ge??2b?Csinkb?Dcoskb (2.8-6)
??2Ge??2b?kCcoskb?kDsinkb利用系数关系B??A，上式可以化为
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?sinka?coska0??A??2sinh?0a????2?cosh?a?kcoskaksinka000???C??0 (2.8-7) ?0?sinkb?coskbe??2b??D?????2b??0?kcoskbksinkb??e?2??G?由于波函数不能等于零，这要求系数行列式等于零，经过耐心仔细的计算，得到
tank(b?a)?k?0coth?0a?k?2 (2.8-8)
k2??0?2coth?0a上式为束缚态能量所必须满足的条件，与(2.8-4)式联立后即可确定能量本征值。 二解：
方程(2.8-4)的解又可以写为下列形式
??0?Asinh?0x?Bcosh?0x,0?x?a?a?x?b (2.8-9) ??1?Csin(kx??),??2x??2xb?x??2?Fe?Ge,考虑到无穷远边界条件，系数F?0；在x?0处，由连续性条件得到系数B?0。利用波函数连接条件的对数导数形式，即在x?a处，波函数满足连接条件(ln?0)'?(ln?1)'；在x?b处，满足连接条件(ln?1)'?(ln?2)'，得到二个关系式
?0coth(?0a)?kcot(ka??),kcot(kb??)???2 (2.8-10)
上式结合关系(2.8-3)可以确定能量本征值。 【物理讨论】
从表面看，两种解法的结果不同。利用差角公式tan(x?y)?去第二解(2.8-11)式中的参数?，得到
tanx?tany，可以消
1?tanxtanytank(b?a)?tan[(kb??)?(ka??)]??这正是第一解所得到的公式(2.8-8)。
k?0?k?2tanh(?0a) (2.8-11) 2?0?2?ktanh(?0a)§2.3 扩展练习
E2-1 设?1(r,t)和?2(r,t)是体系的两个可能的运动状态，现由?1和?2构成以下波函数
c??c?22，?b?c1?1?c2?2，?c?e ?a?c1?1?c2?21122vv其中c1,c2为常数。问以上这些波函数能否描述体系的状态？为什么？
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【提示】?b是?1,?2的线性叠加态，满足叠加原理，?a和?c所表示的状态不满足态叠加原理。
E2.2 求线性谐振子处于第n个激发态时，在经典界限外被发现的概率。
【提示】经典力学要求粒子的动能T?En?U(x)?0，由此得到经典运动范围为
En?m?1222x?0，即|x|?xm?2En/(m?2)。在经典界限内的概率为?xm?xm|?n|2dx。
E2.3粒子在一维势场中作束缚运动，其基态波函数为??Acosh??kx,??0，求对应的基态能量和势能U(x)。
h【提示】由定态薛定谔方程?2??E?，得到 m?''?U(x)2?''2hhU(x)??E?[?(??1)k2tanh2kx??k2]?E （E2.3-1） 2m?2m2取无穷远为势能零点，即
2hU(?)?[?(??1)k2??k2]?E?0 （E2.3-2） 2m得到
22hE??k?2 （E2.3-3） 2m代回（E2.3-1）式，得到势能为
2222?(??1)2U(x)?h[?(??1)k2tanh2kx??k2]?hk?2??hk （E2.3-4）
2m2m2mcosh2kxE2.4 粒子在宽度为?的一维无限深势阱中运动，在t?0时刻的波函数为?(x,0)?Asin3x，求状态随时间的演化规律。
h2n22,n?Z?，对应的本征函数为?n?【提示】能量本征值为En?sinnx，因此2m?1?(x,0)?14A(3sinx?sin3x)?4A?2(3?1??3)。由归一化条件得到A?45?，因此有
?(x,0)??(x,t)?110(3sinx?sin3x)?110(3?1??3)。由定态波函数的性质和叠加原理，得到
110(3?1e?iE1t/h??3e?iE3t/h)
?0,x?0?E2.5 能量为E的粒子从左边向势垒U(x)??U1,0?x?a运动，求透射系数。
?U,a?x?2 19
【答案】当E?U2时，透射系数D?0；当E?U2时，透射系数
D?4k2/k1 （E2.5-1）
(1?k2/k)2cos2k1a?(k1/k?k2/k1)2sin2k1a2其中k2?2mE/h2,k12?2m(E?U1)/h2,k2?2m(E?U2)/h2.
E2.6 设粒子处于二维无限深势阱V(x,y)???00?x?a,0?y?b，求粒子能量和相应
其它区域??的本征态。如a?b，试讨论前5条能级简并情况。 【提示】用分离变量法，得到能量本征值和对应的本征函数
(x)En,l?En?El(y),?n,l(x,y)??n(x)?l(y),n,l?Z? （E2.6-1）
其中
E(x)n2n?x(y)?2h2l22l?y （E2.6-2） ?,?(x)?sin;E?,?(y)?sinnll222maaa2mbbbE1??2h2n2当a?b时，E1,1?2E1,E1,2?E2,1?5E1,E2,2?8E1,E1,3?E3,1?10E1,?2h22ma2。
E2.7质量为m的粒子在一维势场U(x)?U0tan2(kx)中运动，分别就U0很大和很小两种情况，估算粒子的前几个能级的能量En，并与严格解比较。
【提示】当U0很小时，势场变为宽度为?/k的一维无限深势阱，能级为
h2?2n2h2k2n2En;?,n?1,2,L （E2.7-1） 222m?/k2m当U0很大时，低能级中的粒子只能在原点附近作微振动，这时势场可以近似表示为
22U(x)?U0k2x2?1m?x （E2.7-2） 2其中??V0hk/m，V0?2mU0/h。由此得到
2En?h?(1n?0,1,L （E2.7-3） 2?n),严格解为
h2k211En?(n?4?n?2?),??V0/k2?1n?1,2,L （E2.7-4） 4?4,2m22
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