习题十
二重抽样
1. 某县欲调查某种作物的播种面积，全县共有2000个村，拟采用分层抽样以提高抽样效率，但由于缺乏详细的分层资料，故采用二重抽样方法。先抽取500个村作为第一重样本，根据村的大小（现有户数）进行分层，然后又在各层中等比例地抽取1/5村作为第二重样本，分别调查了该种作物的播种面积，其有关数据如下： 层 50户以下村 50-99户 100-199户 200-299户 300户以上 第一重抽样 85 125 140 110 40 第二重抽样 17 25 28 22 8 ?yjhj ?yj2hj 490 1806 4423 5607 4101 16574 135164 736075 1446987 2205691 要求：
（1） 估计全县该种作物的种植面积； （2）计算播种面积估计的标准差。
2. 现有总调查费用为3000元，拟用来作一个估计比例问题的调查。假设每一个抽样单元的调查费用为10元，现有两种方案可供选择，一是采用二重分层抽样，第一重样本用来对单元进行分层，每个抽样单元的分层费用是0.25元，已经总体中两层的权重相等。如果第一层中的起初比例是0.2，第二层中的真实比较为0.8，要求确定二重抽样中最优的n和n?，以及由此所得到V(pstD)，另一种方案是采用不分层的简单随机抽样。要求将二重分层抽样的精度与简单抽样进行比较。抽样效率是否提？
（假定抽样比n?N和nhNh均可忽略不计）。
3. 按照上一题中的Wh，Ph，求调查一个单元费用c2和每分层一个单元费用c1之比达到多少时，二重抽样的费用效率高于简单随机抽样？
4. 某地区欲估计牛的年末头数，以上一次的普查数作为辅助变量。但由于行政区划的变动，上次该地区普查的总头数已不能利用，故采取二重抽样的方法，先在全地区1238个村抽500个村，得到上期普查的平均每村有牛的头数为602头，然后又抽取第二重样本为24个村，分别取得了上期普查头数和当年的年末头数，起资料如下：
样本序列 普查头数 年末头数 样本序号 普查头数 年末头数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 623 690 534 293 69 842 475 371 161 298 2045 1069 654 696 530 315 78 640 692 292 210 555 2110 592 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 706 1795 1406 118 330 218 160 210 262 204 185 574 707 1890 1123 115 375 212 147 297 401 252 199 564 要求：
用二重比估计法估计该地区年末牛的总头数及其估计的标准差。
5. 试用上题的资料，采用二重回归估计法估计该地区年末牛的总头数及其估计饿标准差。并比较回归估计和比估计的效率，作简要分析。
6. 在二重回归抽样中，如果?=0.8，假如由于第一重样本的均值的抽样误差使精确度的损失必须小于10%，则相对于n来说，n?必须多大？
7. 在应用二重回归抽样时，设第二重抽样的样本量为87，第一重抽样的样本量为300。下列计算应用于第二重样本。
?(y?(xi?y)2?17283 ?x)2?3248
?(yi?y)(xi?x)2?5114
i请计算Y的二重回归估计量的标准差。
8. 对某块林地的木材蓄积量采用二重抽样方法，第一重抽样的抽样比为10%，样本量为n1，用目测估计蓄积量为辅助变x。在第一重样本中再抽取一个子样本，样本量为n2，对该样本用目测法估计，并同时进行实测（y），对整个林地木材蓄积量采用回归估计，若给定费用为10000元，其费用函数为CT?1000?5n1?40n2，y的变异系数为1，y和x之间的相关关系伪0.7，试求最优的n1和n2，并计算估计的相对标准差。
9. 总体分为L层，第h层的大小为Nh（
?Nhh?N），对总体采用简单随机抽样抽取
?为样本单元高于第h层的单元数且nh>0，证明wh??nh?n?一个样本量为n?的样本，记Nh是层权Wh?NhN的无偏估计
10. 设总体包含大小相等的L个层，对它采用分层二重抽样，假定N很大，且第二重
抽样的抽样比对各层皆为常数?，试证分层二重抽样估计量ystD的方差V(ystD)满足： nV(ystD)?Sh2n1L?(Yh?Y)2 ?n?Ln?1其中 Sh=
212Sh ?Lh11. 二重抽样的基本方法；
12. 二重抽样的主要作用有哪些?
13. 二重抽样与二阶抽样的区别何在?