福州大学研究生入学考试试题

2006年福州大学研究生入学考试试题(共10题,每题15分)

一.按定义证明:

?n?1,??nm1rn?? (1)lir此处n?n???n?1,??n

n?2k(k?Z); (2)limn?2k?1(k?Z)x?3x?31?. x2?96二.证明limf(x)?A的充要条件是:对任何以x0为极限的数列xn,xn?x0,都有

x?x0f(xn)?A(n??)。

三.证明f(x)?sinx在(??,??)上是一致连续的,但g(x)?sinx2在(??,??)上是非一致连续的。

四.证明:若?x,y?R,有f(x)?f(y)?M(x?y),其中M是正常数。则f(x)是常函数。

五.计算下列各题: (1)limx?02x1?ex2? x 0etdt; (2)2?x?dxx?12

六.设?an?为单调增加的正数数列,则数列?an?收敛的充要条件是级数

?(1?n?1?an )收敛。

an?1七.连续函数序列?fn(x)?在区间[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),且已知f(x)在[a,b]上无零点,证明函数列?

22yy?2u2?u2?u八.设u?x?()??(),其中?、?二阶可微,求x。 ?2xy?y22xx?x?x?y?y?1?1在区间上一致收敛于极限函数。 [a,b]?f(x)f(x)?n?

x2y2z22九.求曲面(2?2?2)?cz,(a,b,c?0)所围成区域的体积。

abc

十.计算曲线积分I?(x?y)dx?(x?4y)dy,其中L是平面上光滑的不经过(0,0)点?22?Lx?4y的简单闭曲线,方向为逆时针。

2009年福州大学研究生入学考试试题(共10题,每题15分分)

一.求下列极限:

3aa2?(1?2 (1)limn??nn

?n(n?1)2 )(a?0的常数) (2)limn??k?n2?1 k二.设f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,lim (1)f?(0 ) (2)求limx?0f(x)?2。求:

x?01?cosxf(x) (3)证明f(x)在x?0有极小值。 x2

三.设fn(x)?n?xe?nx,其中?为参数,求?的范围。使得?fn(x)?在[0,1]上一致收敛。

四.设a1?2,an?1?11(an?),n?1,2,? 。证明: 2an?(1)liman存在 (2)级数?(n??n?1an?1)收敛 an?1

五.设有界函数f(x)在区间[a,b]上的不连续点构成数列?xn?,且limxn?a。证明函数

n??f(x)在区间[a,b]上可积。

?x2y?六.设f(x,y)??x2?y2?0?x2?y2?0x2?y2?0 。证明:(1)f(x,y)在(0,0)点存在偏导数;

(2)f(x,y)在(0,0)点不可微。

七.计算

22yy?2u2?u2?u八.设u??()?x?(),且?、?二阶连续可微,求证:x?2xy?y?0 22xx?x?x?y?y?? 2?dy?sinxdx。

y??x ?

九.计算 十.计算

2222(x?y?z)dS,其中S:x?y?z?a,x?0 ??S2222V(x?y)dxdydz,其中由x?y?2z和平面z?2所围成。 ???V

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