最新线性代数复习试题 （原二教文印中心）现在搬迁至学生活动中心楼下
[一般综合型][教师答题时间： 6 分钟]
答（1分）
则??1,?2,?3,?4,?5?
?2?1?112??10?104???r????11?214?????01?103? ?36?979??0001?3?????：记
A???1, 2 , ? ?
（6分） 所以（1分）
A的列向量组的秩为3； ；
A的列向量组的一个最大无关组为?1,?2,?4（2分）
并（2分） 得分 阅卷人 五、计算题（本题共12分）
且
?3???1；???5?4?1?3?2?3?4 。
[一般综合型][教师答题时间： 6 分钟]
解：当a??2时,R?A??R?A,b??4，此时方程组有唯一解； （2分）
当a??2且b?1时，R?A??3，R?A,b??4，此时方程组无解； （2分）
a??2且b?1时，R?A??R?A,b??3?4，此时方程组有无穷多解。
（2分）
?1123?012?1r???A,b????0022??0000 （4分）
所以方程组的通解为：
1140????r???????????10000100001040???3?3? ?12?00? 17 / 50
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??4??0?????3?3x?k??????k?R?
??1??2??????1??0?（2分） 得分 阅卷人 六、计算题（本题共14分）
[综合型][教师答题时间： 10 分钟]
答：（1）A的特征多项式为
??3?E?A?0?40?40????4????5????5?
??40??3的
特
征
值
为
所以A?1?4,?2?5,?3??5
（3分）
当?1?4时，解方程?4E?A?x?0。由
?70?4??100???r??4E?A??000?????001?
??401??000??????0???得基础解系p1??1?，所以k1p1?k1?0?是对应于?1?4的全部特征向量；
?0???（2分）
当?2??5时，解方程??5E?A?x?0。由
??20?4??102???r???5E?A??0?90?????010?
??40?8??000???????2???得基础解系p2??0?，所以k2p2?k2?0?是对应于?2??5的全部特征向量；
?1???（2分）
当?3?5时，解方程?5E?A?x?0。由
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?80?4??10?12???r??5E?A??010?????010?
??402??000??????12???得基础解系p3??0?，所以k3p3?k3?0?是对应于?3?5的全部特征向量。
?1???（2分）
（2）因为p1,p2,p3是矩阵A的不同的特征值的特征向量，所以p1,p2,p3为正交向量组。
对它们进行单位化：
令
??2??1??5??5??0???p3?p1??p2?b1???1?,b2???0?,b3???0?
p1??p2?p3???012???????????5??5??250151??5??0??2??5?（3分）
??0??P??b1,b2,b3???1???0?（1分） 且（1分） 得分 阅卷人 ，则P为正交阵
?4?P?1AP????0?0?0?500??0?5??。
七、计算题（本题共8分）
[三基类][教师答题时间： 5 分钟]
解: 将原二次型化为
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22 f?2x12?6x1x2?4x1x3?x2 （2分） ?8x2x3?3x3可得二次型的矩阵
?232??? A??3?14?. （2
??243??分） 又由
?232??232 A???3-14?r?????011??, ??243????001??得R(A)?3,故二次型f的秩为3.
攀枝花学院考试试卷
2分）
2分）
20 / 50
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