最新线性代数复习试题 （原二教文印中心）现在搬迁至学生活动中心楼下
2011-2012 A
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。请将答案填在下面的表格内）
*1、设A为n阶方阵，且A?a?0，则2A=（ ）.
2n2(n?2)nn?1A 、2a B 、 C、 a D、 2a
a2、设A,B为n阶矩阵，则下列不正确的是（ ）.
A、AB?BA B 、若AB?0，则A?0或B?0
C、(A?B)T?AT?BT D 、(AB)?1?B?1A?1
3、向量组?1,?2,?,?s(s?2)线性相关的充要条件是（ ）. A、 ?1,?2,?,?s中至少有一个零向量 B、?1,?2,?,?s中至少有两个向量成比例
C、?1,?2,?,?s中至少一个向量可由其余向量线性表示
D、?1,?2,?,?s中每一个向量可由其余向量线性表示
4、设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充要条件是（ ）. A、A的列向量线性无关 B、A的列向量线性相关
C、A的行向量线性无关 D、A的行向量线性相关
?11?3???5、设A?1x2且A 的特征值为?1??2?2，?3?1则x=（ ）. ????241?? A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1、若三阶方阵A的特征值为为 .
???011???
2、矩阵A??021? 则A?1= .
?1??00??3??1?1，?2??1，?3?2，则A*?5A?2E的值
3、已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关，若向量组a1?a2,a2?a3,a3?a4,a4?a1的线性相关性为 .
T4、设A B均为3阶方阵，且A?3，B?5，则2BA?| .
?30?2???5、矩阵A??023?对应的二次型是f(x1,x2,x3)?_______________
??231???.三、求解下列行列式或矩阵
（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）
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12011、
13500156 . 1234
?101 2、若矩阵A????020??，求A3
.
??001??
?033?3、已知A=??110??，又AB?A?2B，求B.
???123??
四、证明题（每题 8 分，共 8 分）
已知?1,?2是齐次线性方程组AX?0的两个线性无关的解，AX?b,(b?0)的解，求证?1,?2,?线性无关.
是非齐次线性方程组 38 / 50
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五、求解下列方程组（每题 10 分，共 20 分）
?x1?x2?x3?x4??1?1、求非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1的通解.
?2x?x?3x?3x?134?12
2、设4元非齐次线性方程组AX?b,(b?0)的系数矩阵的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方?2???2?????13程组AX?b,(b?0)的三个解向量，且?1??2???,?2??3???, 求该方程组的通解 ?3??2??????5??1?
六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）
1、设向量组为：?1??3,?1,1?,T?2??3,?4,5?,?3??0,3,6?,TT?4???2,0,?2,?
T求该向量组的秩及其一个最大无关组，并将不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组
线性表示.
222、已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x3?4x2x3 求一正交变换，把二次型化为标
准形.
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2011-2012 A 答案
一、选择题（每小题 3 分，共 15分。请将答案填在下面的表格内） 1、 D 2、 B 3、 C 4、 A 5、 C 二、填空题（每题3分，共 15分）
?003??120 ?1101、?55 2、A?1???? 3、线性相关 4、
?2?10???225、f?x??3x12?2x2?x3?4x1x3?6x2x3
三、求解下列行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）
1、
11 解：利用行列式的性质：D?0123120553112001?601400015?1…………（2分） 563315?115?1按第一列展开：D?156?007…………（4分）
033033再按第二列展开：D?7?(?1)2?32、
15??21…………（2分） 03?101??101??102?解：因为A2??020??020???0220?…………(4
???????001??001??001????????102??101??103???????A3?A2A??0220??020???0230?………………（4
?001??001??001???????分)
分）
3、
解：?A?2E?B?A…………（1分） B??A?2E??1…………（2分） A
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