人教版数学九年级上学期《二次函数》
章节知识点归纳总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
（1）一般地，形如y?ax2?bx?c（a， b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 （2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零．二
次函数的定义域(x)是全体实数．
2. 二次函数 y?ax2?bx?c 的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． （2）a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
3. 二次函数解析式的几种形式
（1）一般式：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)+k [抛物线的顶点P（ h ，k）]
（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax+bx+c＝0的两个根，a≠0. x1,x2 = (-b±b2?4ac)/2a
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在三种形式的互相转化中，有如下关系:
h= -b / 2a ； k=(4ac-b2) / 4a ； x1,x2 = (-b±b2?4ac) / 2a
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说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；
(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax+k的顶点在y轴上；
当k＝0时，抛物线a(x-h)的顶点在x轴上； 当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax的顶点在原点； (3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax；
如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax+k
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4. 抛物线的性质
（1）.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
（2）.抛物线有一个顶点P:
顶点坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b)/4a ].
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。
（3）.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口； 当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小开口就越大.
（4）.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（概括说就是“左同右异”）
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴x = -b/2a在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴x = -b/2a在y轴右侧。
（5）.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）
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（6）.抛物线与x轴交点个数
Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 （7）.二次函数与一元二次方程
二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方
程（以下称方程），即ax+bx+c=0 .
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点横坐标即为方程的根。
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二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0，0? ?0，0? y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a?0
向下 y轴 2. y?ax2?c的性质：上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． 3
a?0 向下 ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：左加右减。
a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，0? ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． a?0
向下 X=h 4. y?a?x?h??k的性质： a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，k? ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． a?0 向下 X=h
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式．．．．．．．．．．．．．y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下：⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，
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