?m2?1y2，?4解得?…………………………………………………………7分 221?n?x．?4y2m2因为点A(m，n)在椭圆C上，所以?n2?1，即…?x828?????1，
22x2y2x2y2亦即??1．所以点M的轨迹方程为??1．………………9分
432432（3）（文）因为AB所在直线方程为y?kx(k?0)．
?x228k28??y?1，22解方程组?8 得xA?，yA?， 221?8k1?8k?y?kx，?所以OA?xA?yA22288k28(1?k2)32(1?k2)22，AB?4OA?. ???22221?8k1?8k1?8k1?8k?x2?y2?1，?8k28(1?k2)8?8222又? 解得xM?2，yM?2，所以OM?2．……… 11分
k+8k+8k+81?y??x，?k?由于S△AMB2132(1?k2)8(1?k2)64(1?k2)232122…………14分 ????AB?OM??22(1?8k)(k+8)741?8k2k2+84解得(6k2?1)(k2?6)?0?k2?1或k2?6即k??6或k??6 66又k?0，所以直线AB方程为y?6y?6x………………………… 16分 x或
6（3）（理）（方法1）因为AB所在直线方程为y?kx(k?0)．
?x228k28??y?1，22解方程组?8得xA?，yA?， 221?8k1?8k?y?kx，?所以OA?xA?yA22288k28(1?k2)32(1?k2)22，AB?4OA?. ???1?8k21?8k21?8k21?8k2?x2?y2?1，?8k28(1?k2)8?8222又?解得xM?2，yM?2，所以OM?2．……… 11分
k+8k+8k+81?y??x，?k?由于S△AMB2132(1?k2)8(1?k2)122?2?AB?OM??41?8k2k+8 464(1?k2)2392256??8??………………………………14分 228(1?8k)(k+8)8128k?2?658k或?64(1?k2)21?8k2?k2+82当且仅当1?8k2?k2?8时等号成立，即k＝1时等号成立，
??264(1?k2)2256??， 81(1?k2)2814此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝16．………………………………… 15分
9AB所在直线方程为y?x． ………………………………………………… 16分 （方法2）设M(x，y)，则A(?y，??x)(??R，??0)， 因为点A在椭圆C上，所以?2(y2?8x2)?8，即y2?8x2?又x2?8y2?8（ii）
（i）+（ii）得x2?y2?81?12，……………………………………………11分
9?所以S?AMB?OM?OA?|?|(x2?y2)?8|?|?1≥16.…………………………14分
99?8?2（i）
????当且仅当???1（即kAB??1）时，?S?AMB?min?16. 又k?0 9AB所在直线方程为y?x．………………………………………………… 16分
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 23.解：（1）?an?不是封闭数列，因为an?2?3n?1，………………………… 1分 对任意的m,n?N，有an?am?4?3m?n?2，…………………………………… 2分 若存在
?p，使得an?am?ap，即3p?m?n?1?2，p?m?n?1?log32，该式左边为整数，右边是
无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分
（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项as,at?s?t?，若存在ak使asat?ak，则a1?qs?t?2?qk?1，解得a1?qk?s?t?1.故存在m?k?s?t?1?Z，使a1?qm，…… 6分 下面证明整数m??1．
对q?1，若m??1，则取p??m?2，对a1,ap，存在au使a1ap?au， 即qm?qp?1?qu?1，q?1?qu?1，所以u?0，矛盾，
故存在整数m??1，使a1?qm．…………………………………… 8分
（充分性）若存在整数m??1，使a1?qm，则an?qn?m?1， 对任意s,t?N*，因为asat?q(s?t?m?1)?m?1?as?t?m?1， 所以?an?是封闭数列. …………………………………… 10分 （3）由于?n?a1?a2???an?a1?2nn(n?1)2，所以bn?nlog2a1?n(n?1)，……………11分 2m因为?an?是封闭数列且a1为正整数,所以，存在整数m?0，使a1?2，
1111n(n?1)lim(??L?)b?n??na?1若1，则b1b2bn没有意义…12分 2，此时b1不存在．所以
11111n(n?1)lim(??L?)?2?n??b若a1?2，则bn?b2bn9，………………… 13分 12，所以12n(n?3)?若a1?4，则bn?2，于是bnn(n?3)，
lim(11111??L?)?b1b2bn9，…………………………………… 16分
所以n??12n(n?3)?若a1?4，则bn?2，于是bnn(n?3)，
lim(11111??L?)?b1b2bn9，…………………………………… 17分
所以n??n?1*综上讨论可知：a1?4，an?4?2,(n?N)，该数列是封闭数列．……… 18分