考点29 等差数列及其前n项和
1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝( )
321
A. 2C．3 【答案】B
【解析】由－＝1，得
32
B．2 D．4
S3S2
S3S2a1＋a2＋a3a1＋a2
3
－
2
＝1，即a1＋d－?a1＋?＝1，∴d＝2.
2??
?
d?
2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是( ) A．30 C．28 【答案】C
【解析】由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝7×4＝28.故选C.
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为( ) A．2 C．4 【答案】A
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝8，S6＝6a1＋15d＝54，解得a1＝4，d＝2.故选A.
4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于( ) A．18 C．9 【答案】D
11
【解析】.由题意得S11＝
B．12 D．6
B．3 9D． 2B．29 D．27
a5－a3
5－3
7
＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝
a1＋a7
27×2a4＝
2
a1＋a11
2
＝
112a1＋10d＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1
2
＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ( ) A．24 C．104 【答案】D
【解析】因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48.所以a4＋a10＝8.其前13项
B．39 D．52
1
13a1＋a1313a4＋a1013×8的和为＝＝＝52，故选D.
2226、在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若A．2 020 C．4 040 【答案】C
2
【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An＋Bn，则＝An＋B，∴??是等差数列．∵－＝2，∴??
n1210?n??n?
S12S10
12－10
＝2，则S2 020＝( )
B．－2 020 D．－4 040
Sn?Sn?S12S10?Sn?
?Sn?S2 020
的公差为1，又＝＝－2 017，∴??是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴＝－2 017＋2
112 020?n?
S1a1
019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C.
7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为 ( ) A．9 C．11 【答案】A
11
【解析】依题意，得S11＝12，k＝9，故选A.
8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)在函数y＝x－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1
*
2
B．10 D．12
a1＋a11
2
＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak＝24＝2a6，因此3＋k＝2×6＝
＝an(n∈N)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
B．b4＝0 D．T5＝T6
*
A．Sn＜2Tn C．T7＞b7 【答案】D
【解析】因为点(n，Sn)(n∈N)在函数y＝x－10x的图象上，所以Sn＝n－10n，所以an＝2n－11，又bn＋
*22
bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，
所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.
5
9、已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为
7( ) A．7 C．7或8 【答案】C
5540－5n【解析】由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝.该数列前
7777项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8.故选C.
2
B．8 D．8或9
10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A．1升 C.47
升 44
67B．升 6637D．升 33
【答案】B
【解析】设该等差数列为{an}，公差为d， 由题意得?
?a1＋a2＋a3＋a4＝3，?
??a7＋a8＋a9＝4，
?4a1＋6d＝3，?
即???3a1＋21d＝4，
13
a＝，??22解得?7
d＝??66.1
13767
∴a5＝＋4×＝.故选B.
226666
S32a6*
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，若＝，则＝( )
S55a12
A．4 1
C. 4【答案】D
3a1＋3d2a6a1＋5d6d1
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则＝，可得a1＝d，故＝＝＝.故选D.
5a1＋10d5a12a1＋11d12d212、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
B．2 1
D． 2
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列； anp3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
n其中的真命题为( ) A．p1，p2 C．p2，p3 【答案】D
【解析】{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；＝d＋
B．p3，p4 D．p1，p4
anna1－d，n当a1－d＞0时，{}递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，
ann 3
p4是正确的，选D.
13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N)．若＜－1，则 ( ) A．Sn的最大值是S8 C．Sn的最大值是S7 【答案】D
【解析】由条件，得＜
B．Sn的最小值是S8 D．Sn的最小值是S7
*
a8a7
SnSn＋1na1＋ann＋1a1＋an＋1
，即＜，
nn＋12n2n＋1
a8
a7
所以an＜an＋1.所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零．所以Sn的最小值为S7.故选D.
14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( ) A．0 C．8 【答案】B
【解析】∵{bn}为等差数列，设其公差为d， 由b3＝－2，b10＝12，
∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2， ∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6， 7×6
∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d
2＝7×(－6)＋21×2＝0，
又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3， ∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.
15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为( ) A．50 C．－70 【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7－a3＝4d＝－12，∴d＝－3，∴a10＝a7＋3d＝－16，a1＝a3－2d＝11，10a1＋a10∴S10＝＝－25.故选D.
2
16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N，|BnBn＋1|＝|Bn＋1n＋2
*
*
B．3 D．11
B．20 D．－25
B|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
4