注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
（十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式?cn(z?z0)或?cnzn为幂级数。
nn?0n?0??2．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数?cnzn在z0?0n?0?处收敛，那么对满足z?z0的一切z，该级数绝对收敛；如果在的一切z，级数必发散。
z0处发散，那么对满足z?z02）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。
cn?1? 比值法 如果limn??cn???0，则收敛半径R?11?；
? 根值法
limcn???0，则收敛半径R?n???；
? 如果??0，则R??；说明在整个复平面上处处收敛；
如果???，则R?0；说明仅在z?z0或z?0点收敛；
注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如?cnz2n）
n?0?3．幂级数的性质
1）代数性质：设?anz,?bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记
nn?0n?0??R?min?R1,R2?，
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则当z?R时，有
?(?an?0??n??bn)z???anz???bnznnnn?0n?0?n??? （线性运算）
?a0bn)zn(?anz)(?bnz)??(anb0?an?1b1?nn?0n?0n?0 （乘积运算）
?2）复合性质：设当?且g?z??r，
?r时，f?????an?n，当z?R时，??g?z?解析
n?0则当z?R时，f[g?z?]??an[g?z?]n。
n?0?3） 分析运算性质：设幂级数?anzn的收敛半径为R?0，则
n?0?? 其和函数f?z???anzn是收敛圆内的解析函数；
n?0?? 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且
z?R
f??z???nanzn?1
n?0?
? 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；?0f?z?dz??z?R
zann?1z n?0n?1?
（十一）幂函数的泰勒展开 1. 泰勒展开：设函数f?z?在圆域z?z0可以展开成幂级数 f?z???n?0?则在此圆域内f?z??R内解析，
f?n??z0?n并且此展开式是唯一的。 ?z?z0?；
n!注：若f?z?在z0解析，则f?z?在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R?z0?a；
其中R为从z0到f?z?的距z0最近一个奇点a之间的距离。
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2．常用函数在z0?0的泰勒展开式
1nz2z31）e??z?1?z???2!3!n?0n!z?zn??n! z?? z?1
?1??zn?1?z?z2?2）
1?zn?0??zn?
(?1)n2n?1?z?(2n?1)!(?1)n2n?1z3z5z?z???3）sinz??3!5!n?0(2n?1)!(?1)n2nz2z4z?1???4）cosz??(2n)!2!4!n?0? z??
z??
(?1)n2n?z?(2n)!
3．解析函数展开成泰勒级数的方法 1）直接法：直接求出cn?1f?n??z0?n!，于是f?z???cn?z?z0?n。
n?0?2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 （十二）幂函数的洛朗展开