22A．z12+z2+z3 2C．z12+z2
22B．z12+z2-z3 2D．z12-z2
10．设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，则矩阵A可取为（ ） ??21?A．??1?2??
???1?2?C．???21??
???2?1?B．???12??
???12?D．??21??
??二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=___________。 a1112.已知3阶行列式2a213a312a124a226a323a13a11a126a23=6，则a21a229a33a31a32a13a23=___________。 a33?12?2
13.设A=???10??，则A-2A+E=___________。
???12?
14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=??34??，则A=___________。
??
?001?
??
15.设3阶矩阵A=?022?，则A-1=___________。
?333???
16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关，则数a=___________。 ?x1?x2?017.3元齐次线性方程组??x?x?0的基础解系中所含解向量的个数为___________。
3?218.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则B?E=___________。
19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，则数k=___________。 20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=___________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
1111?a111?a111?a111111?a21.计算4阶行列式.
?32??01?*
???22.设2阶矩阵A=?，P=，矩阵B满足关系式PB=AP，计算行列式B. ?21??11?????23.求向量组α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.
2005年10月自考线性代数试题答案
13
?ax1?x2?x3?0?24.设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0,
?x?x?ax?03?12（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解. ?201???25.设矩阵B=?313?，
?405???（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵∧和可逆矩阵P，使P-1BP=∧.
2226.设3元二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x2+x3-2x1x2-2x2x3，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.
四、证明题（本大题6分） ?a1?27.设矩阵A=?0?0?
0a200??0?，其中a1,a2,a3互不相同，证明：与A可交换的矩阵只能为对角矩阵. a3??全国2009年1月自考线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A为n阶方阵，若A3=O，则必有（ ） A. A=O B.A2=O C. AT=O
D.|A|=0
2.设A，B都是n阶方阵，且|A|=3，|B|=-1,则|ATB-1|=（ ）
1B.-3
A.-3
1C. 3 D.3
3.设A为5×4矩阵，若秩(A)=4，则秩(5AT)为（ ） A.2
B.3
C.4 D.5
4.设向量α=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（ ）
2005年10月自考线性代数试题答案
14
11A.3α B.5α
11C.9α D.25α
225.二次型f(x1,x2)=5x1?3x2的规范形是（ ）
A.y-y B. -y-y C.-y+y
212221222122D. y+y
21226.设A为5阶方阵，若秩(A)=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A.2 C.4
B.3 D.5
7.向量空间W={(0,x,y,z) |x+y=0}的维数是（ ） A.1 C.3
B.2 D.4
?12???43????，则矩阵A的伴随矩阵A*=（ ） 8.设矩阵A=?32???41??? A.??34???21???? C.
?3?2????41??? B. ??3?4????21???? D.
?1??0?0??09.设矩阵A=?111??211?031??003??，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（II）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A.若（I）线性无关，则（II）线性无关 B.若（I）线性无关，则（II）线性相关 C.若（II）线性无关，则（I）线性无关 D.若（II）线性无关，则（I）线性相关
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
2005年10月自考线性代数试题答案
15
??21???40?11．设A=（3，1，0），B=????35??，则AB=_______. 12．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_____. 13.设A，B为6阶方阵，且秩（A）=6，秩（B）=4，则秩（AB）=______.
114.已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则3A=______.
15.二次型f(x1,x2,x3,x4)=
x12?3x22?2x32?x24的正惯性指数为______.
16．设A为3阶方阵，若|AT|=2，则|-3A|=______.
17．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_____. 18．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为
??1002?1??010?1?2????0024?6??，则该方程组的结构式通解为____.
19．设B为方阵，且|B|=3，则|B4|=_____.
??120?
?370?20．设矩阵A=???
001?
?，则A-1=______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
53333533335321．计算行列式D=
3335.
22.求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.
??x1?x2?x3?x4?0?x1?2x2?4x3?4x4?023．求齐次线性方程组
??2x1?3x2?5x3?5x4?0的一个基础解系.
??110???0?1???1?12???001?,24.设A=?2??01??B=??10??，又AX=B，求矩阵X.
25.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=x12?5x22?3x32?4x1x2?6x1x3为标准形，并判别其正定性.
??123??023?26.求方阵A=???003??的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：向量组α1+2α3，α2-α3，α1+2α2线性相关.
2005年10月自考线性代数试题答案
16