1.14 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：
(1) x2位于x1与x3之间的概率。(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。
111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.15 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可
能事件？试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。
1.16 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);
(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2). 证
明
(1)
P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)
(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.17 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)
?P(AB)?P(AC)?P(BC)
1.18设A,B,C
1是三个随机事件，且P(A)?P(B)?P(C)?，
41P(AB)?P(AC)?, P(BC)?0.求P(ABC)。
8解：因为P(BC)?0，所以P(ABC)?0。则
P(ABC)=P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
111?3??2??
4821.19 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：
(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；
(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。 解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。 (1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%
(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90%
(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10% 1,20设A1,A2，,An为n个随机事件，证明：
n（1）P(i?1Ai)?1?i?n?P(Ai)?1?i?j?n?P(AiAj)????1?n?1P(A1A2An)
(2)
nP(i?1Ai)?1?i?n?P(A)??iP(AiAj)?1?i?j?n1?i?j?k?n?P(AiAjAk)????1?n?1nP(i?1Ai)证明：（1）应用数学归纳法
P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)P(ABC)?P(AB)?P(C)?P?(AB)C??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(ACBC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)当n=1,2时等式成立，假设当n=k时，等式成立，即
k
P(i?1Ai)?1?i?k?P(Ai)?k?11?i?j?k?P(AiAj)?k???1?kk?1P(A1A2Ak)
k当n=k+1时，P(i?1Ai)?P(i?1AiAk?1)?P(i?1Ai)?P(Ak?1)?P(i?1AiAk?1)
AkAk?1)?而
1?i?k?P(A)??iP(AiAj)????1?k?1P(A1A2Ak)?P(A1Ak?1A2Ak?11?i?j?kP(A1Ak?1A2Ak?1AkAk?1)??P(AiAk?1)?i?1k1?i?j?k?P(AiAjAk?1)??(?1)kP(A1A2Ak?1)
则上式=
k?1P(i?1Ai)?1?i?k?1?P(Ai)?1?i?j?k?1?P(AiAj)????1?P(A1A2kAk?1)
所以当n=k+1时也成立。 综上所述，（1）式成立。 同理可得（2）。
1.21 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(?Ai)。
i?1N?N?1?P(Ai)????N?NnN?2?，……，?N?N?，P(AiAj)??P(A1?AN)??????N?nn?N??0
?N?1?1?11?N?1?P(A)?C??(?1)CN??i???
?N??N?i?11N2?N?2?2?12?N?2???P(AiAj)??CN?(?1)CN????，……
NN????1?i?Nnnnni?N?i?所以P(Ai)??(?1)i?1CN??
N??i?1i?1NNn1.22 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的
概率是多少？
解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2?anin，当且仅当1,2,?,n的排列(i1i2?in)中存在k使ik?k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik?k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则
P(Ai)?N(n?2)!(n?1)!1?i?n P(AiAj)?(1?i?j?n)，…… n!n!ni?1in(n?i)!n1所以P(Ai)??(?1)C??(?1)i?1
n!i!i?1i?1i?11.23 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩
的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：
??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}
其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则
P(B|A)?P(AB)6/86?? P(A)7/871.24 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产
2112Cm?CmCM?mCm品都是不合格品”，则P(A)? P(B)?2 2CMCMP(B|A)?P(AB)P(B)m?1?? P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一
件合格品，一件不合格品”。则
11211CmCM?m?CMCmCM?m?m P(C)?P(D)?22CMCMP(D|C)?P(CD)P(D)2m?? P(C)P(C)M?m?1)?1,25 设0?P(A)?1,0?P(B)?1，已知P(ABP(BA)?证明：
P(A。)B证明：
P(B。) AP(AB)?P(AB)?P(AB)P(AB)P(AB)??P(B)P(B)1?P(B)?1P(AB)?P(AB)P(A)1?P(B)P(AB)1P(B)??????P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(AB)?1?P(A)P(B)?P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)?????P(A)P(AB)P(AB)P(A)1?P(A)P(A)?P(BA)?P(BA)
1.26 设P(A)?0.6,P(B)?0.8,试证P(BA)?0.5，且当P(BA)?0.5时，求P(AB)。 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.8?P(AB)?0.2