第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
(3) 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。
解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则
(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}
A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}
(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}
(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}
b个???（3）?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，…?b?1表示黑?黑白，
则样本空间??{?1，?2，…，?b?1}， 当b被奇数时：A1?{?1,?3,?5,当b为偶数时：A2?{?1,?3,?5,,?b} ,?b?1}
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？(4) 什么时候A?B成立？ 解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是合格品。 解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];
i?1nnnnni?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；
i,j?1i?jn1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以
11?A5?2?3?6个样本点。于是 事件A“所得分数为既约分数”包含A32?2A3P(A)?2?3?69?。 8?7141.5 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词
的概率为多大？
解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含
3!2!2!2!48 ?13!13!1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所
3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A97个样本点，于是
A97P(A)?7。
91.7 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以
10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???
10000?10?441.8 有5双不同的鞋子，从中任取4只，问没有一双配对的概率。
4解：鞋子都不同，所以样本点总数为C10.A表示“没有一双配对”，则有利样本空
间为CCCCC4512121212.所以
1111C2C2C28有利样本数C54C2P(A)?== 4样本总数C10211.9 袋中装有a个黑球与b个白球，把球随机一只一只地摸出来（不放回），
求第k次（1?k?a?b）摸出黑球的概率。
策略一:把a只黑球和b只白球都看成是不同的,将所有的球一一摸出来依次放在排成一直线的(a?b)个位置上,则所有不同的排法有(a?b)!,作为基本事件全体;而其中第k个位置
1Ca(a?b?1)!a?排黑球的方法有C(a?b?1)!,故所求概率为P(A)?
(a?b)!a?b1a策略二:把a只黑球和b只白球都看成是不同的,前k次摸出球的所有不同可能为Aa?b,
1k?1将其作为基本事件全体;而第k个位置排黑球的方法有CaAa?b?1,故所求概率为
k1k?1CaAa?b?1a P(A)??kAaa?b?b1.10 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1)考虑一个数的平方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、9之一时，事件A“该数平方的末位数是1”。即P(A)?有利样本数21==。
样本总数105(2) 考虑一个数的四次方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10. 当该数的末位数是1、3、7、9之一时，事件B“该数四次方的末位数是1”。即P(B)?有利样本数42==。
样本总数105 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件C表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此C所包含的样本点只有71这一点，于是P(C)?有利样本数1=.
样本总数1001.11 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为
(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种
连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是
P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得
1.12 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解：以x，y分别表示汽车和乘客到达车站的时间，则事件A“若乘客在候车
?0?x,y?5?时间不超过三分钟能坐上车”时，满足以下条件?y?x?3，
?2?x?y?在平面上建立直角坐标系，则（x，y）的所有可能结果是边长为5的正方形，而满足事件A的情况由阴影部分所表示，这是一个几何概率问题，由等可能性知
S阴影? 所求概率为P(A)S?3=。51.13 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于率为
n?1的概n
1。 2n1CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面n2解 截取CD??21CD?A?B?C的面积CD?n?11n2??积之比大于，因此所求概率为P(A)?。 ?222?ABC的面积CDnnCD