1
3.1.3 两角和与差的正切
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点) 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正切公式
阅读教材P114～P115的全部内容，完成下列问题． T(α－β)：tan(α－β)＝T(α＋β)：tan(α＋β)＝
tan α－tan β.
1＋tan αtan βtan α＋tan β
.
1－tan αtan β
1．tan 15°＝________；tan 75°＝________.
3
tan 45°－tan 30°1－33－3
【解析】 tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2
31＋tan 45° tan 30°3＋31＋3－3. 2
1
31＋tan 45°＋tan 30°3
tan 75°＝＝＝2＋3. 31－tan 45°tan 30°
1－3【答案】 2－3 2＋3
2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.
51
【解析】 tan α＋tan β＝6，tan α·tan β＝6. tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan α·tan β
＝1.
【答案】 1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
条件求值问题 π??
已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan?2α＋4?.
??
【导学号：06460075】
π??
【精彩点拨】 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan?2α＋4?可以
??用tan 2α表示出来．
【自主解答】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
2
1
＝
tan?α＋β?＋tan?α－β?1－tan?α＋β?tan?α－β?
＝5＋31－5×3
4＝－7，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝
tan?α＋β?－tan?α－β?1＋tan?α＋β?tan?α－β?
＝5－31＋5×3
1＝， 8
π?1＋tan 2α?
tan?2α＋4?＝＝??1－tan 2α3＝11.
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.
[再练一题]
π?1π?2??
1．已知tan(α＋β)＝5，tan?β－4?＝4，求tan?α＋4?.
????π????π??
【解】 tan?α＋4?＝tan??α＋β?－?β－4??
??????π?21?
tan?α＋β?－tan?β－4?5－4??3＝＝21＝22. ?π?1＋tan?α＋β?tan?β－4?1＋5×4
??
给值求角 ?ππ?
已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈?－2，2?，
??
2
4
1－7
4 1＋7
1
求α＋β.
【精彩点拨】 利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．
【自主解答】 因为tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，
?ππ?所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈?－2，2?，
???π?
所以α，β∈?－2，0?，所以－π＜α＋β＜0.
??又因为tan(α＋β)＝2π
所以α＋β＝－3.
1．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；
π??
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是?0，2?，选正、
???ππ?余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为?－2，2?，选正弦
??较好．
2
tan α＋tan β1－tan αtan β
＝
－331－4
＝3，