学习了正棱锥的知识后，为了让学生能够对所学的基础知识进行巩固，老师出了几个判断题，其中有一题是这样的：“侧面为全等的等腰三角形的三棱锥必为正三棱锥”，这个命题是错误的，学生能画出如图 1 所示的反例来，只要使 AB=PB=PC=AC 且 AP=BC 即可。这时候有学生提出，“侧面为全等的等腰三角形的四棱锥必为正四棱锥”是否正确，这个问题在备课的时候并没有想到。于是教师反问学生能不能由前面的问题进行拓展，也找一个反例来。一石激起千层浪，很快就有学生找到了，如图 2 ，只要再加一条 PD ，使得 PD=PB 且 BD=DC=PA 。解决了这个问题以后，学生的思维马上像潮水一般不可收拾：那么五棱锥、六棱锥、七棱锥……都是这样吗？作为教师，颇有点骑虎难下的感觉，但这样一次绝好的让学生探索思考的机会是不忍放弃的。于是由师生共同继续进行探讨，将这个问题推广到 n 棱锥，如图 3 所示，只要 PA 足够的短，总可以找到这样的棱锥侧面是全等的等腰三角形。
原本认为这个问题到此结束，这时又有学生提出，“侧面为全等的等边三角形的三棱锥必为正三棱锥”这个命题是否正确？这个问题又是一个教师没有准备的问题，问题的提出使得课堂讨论更加激烈，有些学生已经运用正棱锥的定义证明出这个命题是真命题，继而提出了“侧面为全等的等边三角形的四棱锥必为正四棱锥”“侧面为全等的等边三角形的五棱锥必为正五棱锥”“侧面为全等的等边三角形的六棱锥必为正六棱锥”等一系列的猜想。在这个时候，作为教师已经完全是个旁观者了，但必要的时候也要成为引导者。此时教师提出：六个侧面全是等边三角形能不能构成一个六棱锥？学生们陷入了沉思，过了会儿有学生认为，这样是不能构成棱锥的，因为此时在顶点处的角度和为 360 °，根本不能形成一个立体的六棱锥，看来这个命题只能推广到五棱锥。但是还有个别学生眉头不展，他们说出了自己的担心：前面一个问题推广到 n 棱锥是否也会出现这个问题。教师心头又惊又喜，于是请学生自己来验证一下。下面是一个学生的证明过程：
至此为止，学生的问题完全解决了，虽然原来的教学任务没有完成，但是这样的探索是值得的，真可谓是无心插柳柳成荫。 【案例评析】
案例 1 中教师用“拍手”游戏进行课堂导入，引导学生感受前、后、左、右，增强方位词的感性认识。在此基础上，通过扭脖子、看座位游戏巩固前、后、左、右的方位感。为了让学生在开放的环境中也能识别方位，教师把学生拉到广阔的操场上，让学生实地观察“影子”，了解“影子”，和“影子”做好朋友。在操场上，教师让学生自行设计表演，不仅展示了学生的智慧和表演才能，更重要的是学生在阳光下观察影子的方位，直观、真实，容易对不正确的表演进行自动调整，形成了很好的学习反馈。同时，在操场上学习方位，形成方位感，能够有效地迁移到其他实践活动，形成学生的方位识别能力，这才是开放课堂的核心价值。课堂从游戏开始到游戏结束，使学生在演中学、演中悟、演中记，取得了意想不到的效果，体现了开放课堂的重要作用。
案例 2 中教师的一个判断：“侧面为全等的等腰三角形的三棱锥必为正三棱锥”，这个命题是错误的和一个论证方法激发了学生的发散思维，由此提出了“侧面为全等的等腰三角形的四棱锥必为正四棱锥”是否正确的命题和“侧面为全等的等边三角形的三棱锥必为正三棱锥”这个命题是否正确的两个假设。教师面对备课中没有预设的内容，运用教育机智，鼓励学生大胆探究，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探究意识，提高了学生的实践能力，充分发挥了开放课堂对学生创新思维培养的优势。 【理论提升】
开放课堂是指教师开放教学过程，解除对学生思维的凝固，让学生主动学习，相互交流，充分表达自己的观点，展示自己的个性，从而激发创新意识，培养良好个性品质的过程。开放式教学的核心是教学过程的开放和学生思维的开放；其特点具有学习空间的灵活性、学习材料的丰富性和课程内容的综合性。
1. 开放课堂与传统教学的区别
开放式教学突破了“课堂为中心”的陈旧模式，使教师由一个学习的预设者、控制者转变为一个学习的合作者。如果说传统的预设性教学模式是让一群毫无准备的学生去面对一个经过充分准备的教师的话，那