初中数学竞赛名师辅导
第10章 四边形
§10.1 平行四边形与梯形
10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，已知△ABC是等边三角形，?ADC?30?，AD?3，BD?5，求边CD的长．
DDAAB(a)CBCE(b)
解析 如图(b)，以CD为边向四边形ABCD外作等边△CDE，连结AE．由于AC?BC，CD?CE， ?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD?ACE． 所以△BCD≌△ACE，从而BD?AE．
又因为?ADC?30?，BD?5，AD?3，于是?ADE?90?，从而在Rt△ADE中，DE?AE2?AD2?4．所以CD?4．
10.1.2★在ABCD中，AB?2AD，F为AB中点，CE?ADD交AD(或延长线)于E．求证：?BFE?3?AEF．
解析 如图，取CD中点G，连结FG、CF．
AEDGCFB
易知四边形ADGF与FGCB均为菱形，FG垂直平分CE，于是?EFG??CFG??CFB，于是?BFE??3?EFG?3?AEF．
10.1.3★AD、BE、CF是△ABC的三条中线，FG∥BE，EG∥AB,四边形ADCG是平行四边形． 解析 如图，连结EF，则EF是中位线．
AGFEBDC
BF，故EG∥AF，于是AG∥EF∥CD，故结论成立． 由条件知EG∥10.1.4★延长矩形ABCD的边CB到E，使CE?CA，F是AE的中点，求证：BF?FD．
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解析 如图，取BD中点G，连结FG，则FG?AD1111?AD?BE??CE?CA?BD，于是BF?FD． 2222AFGDEB题10.1.4CB题10.1.5C
10.1.5★菱形ABCD中，BD?AC?2?3，?BAD?120?，求菱形的面积． 解析 如图，易知△ABC与△ACD均为正三角形．
设菱形边长为x，则由?BAD?120?，得BD?3x，AC?x，所以13223?3x?此菱形面积为BD?AC?．
224?3?1x?2?3，x??3?1，因210.1.6★在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线MN分别交AB、CD、AC、BD于M、N、P、Q，若延长AQ、DP的交点正好位于BC上，求
ABC． ADDMQPNBRC
解析 设AQ、DP延长后交于R，且R在BC上，则由中位线知AD?2PQ，AD?2PN，BC?2QN，故
BC?2． AD10.1.7★★四边形ABCD中，?ABC?135?，?BCD?120?，AB?6,BC?5?3，CD?6，求AD． 解析 如图所示，作AF?BC，DE?BC分别交BC所在直线于F、E，作FG∥AD交DE于G，B?AF?3；?DEC?90?，?DCE?60?，则△AFB为等腰直角三角形，?AFB?90?，AB?6，故FCD?6，故CE?3，DE?33．
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FABCEGD
所以EF?FB?BC?CE?3?5?3?3?8， GE?DE?DG?DE?AF?33?3?23．
从而AD?FG?EF2?EG2?219．
10.1.8★★★已知△ABC中，?A?90?，D是BC上一点，D关于AB、AC的对称点分别为F、E，
1BC． 2解析 如图，连结AF、AE、BF、CE． 若BE?CF,AD?FAEB
由对称，有?FAD??EAD?2?BAD?2?CAD?180?，故F、A、E共线．
又?BFE??FEC??ADB??ADC?180?，故FB∥EC，而BE?CF，所以梯ECBF为等腰梯形．又
DC11AF?AD?AE，于是AD?EF?BC．
2210.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．
B'C'DOBA'D'CA
解析 如图，AD∥BC，A、B、C、D关于对应对角线的对称点分别为A′、B′、C′、D′． 设AC、BD交于O，连结A′O、B′O、C′O、D′O．则?A′OB=?AOB??COD??C′OD，O、C′共线，故A′、且
A?OAOB?OBOBOCOO、D′共线，，同理B′、，所以由????1
C?OCOD?ODODOAO得
B?OC?O??1． D?OA?O初中数学竞赛名师辅导
故如A′、B′、C′、D′不位于同一直线上，则A′D′∥B′C′，即A′B′C′D′成梯形．
10.1.10★已知：直角梯形ABCD，AD∥BC，AB?BC，AB?BC，E是AB上一点，AE?AD，?CEB?75?，求?ECD．
ADEB
解析 如图，连结AC，则由AB?BC，AB?BC，得?BAC?45???DAC． 又AE?AD，故△AEC≌ADC，EC?CD．
又?DEC?180??75??45??60?，故△DEC为正三角形，于是?ECD?60?．
10.1.11★★在四边形ABCD中，?A?60?，?B??D?90?，AB?2，CD?1，求BC、AD和BD的长．
ACDBCE
解析 如图，延长AD、BC至E，则?DCE?60?，CE?2CD?2．
又?A?60?，故BE?23，BC?23?2，又AE?4，CE?3，故AD?4?3．
至于求BD，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A、B、C、D四点共圆的性质：
AC?22?23?2??2?25?23，BD?AC?sin60??15?63．
§10.2 正方形
10.2.1★在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上的点，且AF?BC?CF．求证：?BAF?2?BAE．