[人教版]最新初中数学竞赛名师讲义:第10-12章专题辅导(含答案)

初中数学竞赛名师辅导

第10章 四边形

§10.1 平行四边形与梯形

10.1.1★如图(a),在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,已知△ABC是等边三角形,?ADC?30?,AD?3,BD?5,求边CD的长.

DDAAB(a)CBCE(b)

解析 如图(b),以CD为边向四边形ABCD外作等边△CDE,连结AE.由于AC?BC,CD?CE, ?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD?ACE. 所以△BCD≌△ACE,从而BD?AE.

又因为?ADC?30?,BD?5,AD?3,于是?ADE?90?,从而在Rt△ADE中,DE?AE2?AD2?4.所以CD?4.

10.1.2★在ABCD中,AB?2AD,F为AB中点,CE?ADD交AD(或延长线)于E.求证:?BFE?3?AEF.

解析 如图,取CD中点G,连结FG、CF.

AEDGCFB

易知四边形ADGF与FGCB均为菱形,FG垂直平分CE,于是?EFG??CFG??CFB,于是?BFE??3?EFG?3?AEF.

10.1.3★AD、BE、CF是△ABC的三条中线,FG∥BE,EG∥AB,四边形ADCG是平行四边形. 解析 如图,连结EF,则EF是中位线.

AGFEBDC

BF,故EG∥AF,于是AG∥EF∥CD,故结论成立. 由条件知EG∥10.1.4★延长矩形ABCD的边CB到E,使CE?CA,F是AE的中点,求证:BF?FD.

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解析 如图,取BD中点G,连结FG,则FG?AD1111?AD?BE??CE?CA?BD,于是BF?FD. 2222AFGDEB题10.1.4CB题10.1.5C

10.1.5★菱形ABCD中,BD?AC?2?3,?BAD?120?,求菱形的面积. 解析 如图,易知△ABC与△ACD均为正三角形.

设菱形边长为x,则由?BAD?120?,得BD?3x,AC?x,所以13223?3x?此菱形面积为BD?AC?.

224?3?1x?2?3,x??3?1,因210.1.6★在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线MN分别交AB、CD、AC、BD于M、N、P、Q,若延长AQ、DP的交点正好位于BC上,求

ABC. ADDMQPNBRC

解析 设AQ、DP延长后交于R,且R在BC上,则由中位线知AD?2PQ,AD?2PN,BC?2QN,故

BC?2. AD10.1.7★★四边形ABCD中,?ABC?135?,?BCD?120?,AB?6,BC?5?3,CD?6,求AD. 解析 如图所示,作AF?BC,DE?BC分别交BC所在直线于F、E,作FG∥AD交DE于G,B?AF?3;?DEC?90?,?DCE?60?,则△AFB为等腰直角三角形,?AFB?90?,AB?6,故FCD?6,故CE?3,DE?33.

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FABCEGD

所以EF?FB?BC?CE?3?5?3?3?8, GE?DE?DG?DE?AF?33?3?23.

从而AD?FG?EF2?EG2?219.

10.1.8★★★已知△ABC中,?A?90?,D是BC上一点,D关于AB、AC的对称点分别为F、E,

1BC. 2解析 如图,连结AF、AE、BF、CE. 若BE?CF,AD?FAEB

由对称,有?FAD??EAD?2?BAD?2?CAD?180?,故F、A、E共线.

又?BFE??FEC??ADB??ADC?180?,故FB∥EC,而BE?CF,所以梯ECBF为等腰梯形.又

DC11AF?AD?AE,于是AD?EF?BC.

2210.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点,证明:如果所得到的四个像点也形成四边形,则必为一个梯形.

B'C'DOBA'D'CA

解析 如图,AD∥BC,A、B、C、D关于对应对角线的对称点分别为A′、B′、C′、D′. 设AC、BD交于O,连结A′O、B′O、C′O、D′O.则?A′OB=?AOB??COD??C′OD,O、C′共线,故A′、且

A?OAOB?OBOBOCOO、D′共线,,同理B′、,所以由????1

C?OCOD?ODODOAO得

B?OC?O??1. D?OA?O初中数学竞赛名师辅导

故如A′、B′、C′、D′不位于同一直线上,则A′D′∥B′C′,即A′B′C′D′成梯形.

10.1.10★已知:直角梯形ABCD,AD∥BC,AB?BC,AB?BC,E是AB上一点,AE?AD,?CEB?75?,求?ECD.

ADEB

解析 如图,连结AC,则由AB?BC,AB?BC,得?BAC?45???DAC. 又AE?AD,故△AEC≌ADC,EC?CD.

又?DEC?180??75??45??60?,故△DEC为正三角形,于是?ECD?60?.

10.1.11★★在四边形ABCD中,?A?60?,?B??D?90?,AB?2,CD?1,求BC、AD和BD的长.

ACDBCE

解析 如图,延长AD、BC至E,则?DCE?60?,CE?2CD?2.

又?A?60?,故BE?23,BC?23?2,又AE?4,CE?3,故AD?4?3.

至于求BD,有多种方法,如勾股定理或余弦定理,也可用A、B、C、D四点共圆的性质:

AC?22?23?2??2?25?23,BD?AC?sin60??15?63.

§10.2 正方形

10.2.1★在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为CD上的点,且AF?BC?CF.求证:?BAF?2?BAE.

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