??1cos?tco?s??11 ?co?st?(1c?o1s??2sit?ns??in?12tc?os2??cos?2t?s in?sin?co2?s?)t?sin?(??sin?112 sin)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)
则 ??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?又 A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2
2 ??12sin2?1??22sin?2?BA)）
?21?2si?n1 s?i2n ??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2) ??12??22?2?1?2cos(?2??1) 又 ??arcta?n(?a)rctan1(AB?sin?1??2sin?2?1cos?1??2co?s22 ) 令 ?a?A?B?22?1??2?2?1?2cos(?2??1)
2(t??) 则 ???acos?1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)
试证明
???acos(w1t??)，
其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan22?2sin(?wt)?1??2cos(?wt),?w?w1?w2.
解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，
?a???1??2?2?1?2cos(w2t?w1t)
22?1??2?2?1?2cos(?wt)
22其中，?w?w2?w1。 由三角形面积知，
12?1?2sin?wt?12?1?asin?
得 sin???2sin?wt?a
得 tg???2sin?wt?a??2sin222
?wt ??2sin?wt(?1??2cos?wt)2
??2sin?wt?1??2cos?wt?2sin?wt
故 ??即可证。
?1??2cos?wt
1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1 ? Km＝mg/ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式f0?12?KmMm得，Mm?Km4?2f02?mg4?2f0?12.
纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
解：由 f0?12?M12?KmMm 得 Km?(2?f0)2Mm
由 f0??Kmm?m 得 Km?(2?f0?)2(Mm?m,)
22联立两式，求得Mm?mf0?f02?f0?，Km?4?mff02220f0?22?f0?
1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。
图 1-2-3
图 1-2-4
解： 串接时，动力学方程为M2d?m2dt2?K1mK2mK1m?K2m??0，等效弹性系数为K?K1mK2mK1m?K2m。
并接时，动力学方程为Mmd?dt2?(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。
1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？
解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g?9.8ms2，月球表面的重力加速度为
g?
由虎克定律知 FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?T?xx?Mgx?1?g0.1?10g
2??0??2?10.4MK?1 则M?10g4?2?10?9.84?2?2.5kg
又 则 x??0.04m
KMx??4??0.04?1.58ms22Mg??Kx?则g??
故月球表面的重力加速度约为1.58ms2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。 1-14 试求证
acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)
sinn?a?2cos??t?(n?1)??
???2??sin2证 aej?t?aej?tj(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)
?ae(1?ej??)
?aej?t1?e1?ejn?j??aej?t1?cosn??jsinn?1?cos??jsin?
sinn?2?jcos?jcossin?asinn?n?2sin?aej?t2n?22?jsinn??ae?jsin??j(j?tsinsinsinn?n?2sinsin?aej?t?2?2?2sin?2?2
2n?12n??sin?2?e2en??)221??)22?j(??aej?tsin?2?ej2n?12??2?ej(?t?2?)
同时取上式的实部，结论即可得证。
1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为f0， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？
(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解：固有频率fo?f0212?KmMm。
Km4（1）f0? ? Km?，故应该另外串接三根相同的弹簧；
Mm??Mm?（2）?2??f0?f0 ? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。
1-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为 f0?12πKmMm。
1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：
（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；
（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε
所以 Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m
e???1/e???1
故 ??Rm2Mm?Rm?1N?s/m
w0?'w0??2?f0?12'12?2490.5?12?1?1.57Hz
2（2）系统所具有的能量E?（3）平均能量E?12Km?0e2Km??49?0.04?3?0.0392J
?2?t?5.31?10J
1-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0，v?v0，试