[决胜高考]2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编:H单元 解析几何

5 [解析] 由已知及双曲线的概念知,a=2,b=1,故c=22+12=5, 2

c5故该双曲线的离心率e==. a2

x2y2

6.[2014·天津卷] 已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x

ab

+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )

x2y2x2y2

A.-=1 B.-=1 520205223x3y3x23y2

C.-=1 D.-=1 2510010025

bx2y222

6.A [解析] ∵=2,0=-2c+10,∴c=5,a=5,b=20,∴双曲线的方程为-a520

=1.

H7 抛物线及其几何性质 10.[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的→→

两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

172

A.2 B.3 C. D.10

8

1?→→222,0.设A(y210.B [解析] 由题意可知,F?,y),B(y,y),∴OA·OB=yy+y1122121y2=?4?

2,

解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-2.

y1-y2122

当y2(x-y22(x-y1)= 1≠y2时,AB所在直线方程为y-y1=21), y1-y2y1+y2令y=0,得x=-y1y2=2,即直线AB过定点C(2,0).

11111

于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=(9|y1|+8|y2|)

22248

12≥×29|y1|×8|y2|=3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=-2时,等号成立.当y21=y2时,取y1

8

1

=2,y2=-2,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得S△ABO+S△AFO=2××2×2+

2

11172172××2=.而>3,故选B. 2488

11.

1

3.[2014·安徽卷] 抛物线y=x2的准线方程是( )

4A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2

1

3.A [解析] 因为抛物线y=x2的标准方程为x2=4y,所以其准线方程为y=-1.

421.[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程.

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.

21.解:方法一:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点.

依题意,点S到点F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等, 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线, 所以曲线Γ的方程为x2=4y.

(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下: 1

由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2.

41

设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=x2,

40

11

由y′=x,得切线l的斜率k=y′|x=x0=x0,

22

111所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x2.

224011??y=2x0x-4x20,1?由?得A??2x0,0?.

??y=0,11??y=2x0x-4x20,16

x0+,3?. 由?得M?x0??2

??y=3,13

x0+,3?, 又N(0,3),所以圆心C?x?4?

0

131

x0+?, 半径r=|MN|=?x0??42|AB|=|AC|2-r2 =

?1x0-?1x0+3??+32-?1x0+3? x0???4x0??4?2

22=6.

所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变. 方法二:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,

则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2.

依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,

所以(x-0)2+(y-1)2=y+1, 化简得,曲线Γ的方程为x2=4y. (2)同方法一. 11.、[2014·广东卷] 曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.

11.5x+y+2=0 [解析] ∵y′=-5ex,∴所求切线斜是k=-5e0=-5,∴切线方程是y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.

22.、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴

的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

22.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即(x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x).

??4x,x≥0,2

故点M的轨迹C的方程为y=?

??0,x<0.

(2)在点M的轨迹C中,

记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).

依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).

??y-1=k(x+2),

由方程组?2

??y=4x,

可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①

当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,

1得x=. 4

1?

故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点??4,1?. 当k≠0时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).②

2k+1

设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③

k

??Δ<0,1(i)若?由②③解得k<-1或k>.

2??x0<0,

1

,+∞?时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故即当k∈(-∞,-1)∪??2?

此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.

??Δ>0,?Δ=0,?1??1?(ii)若或?由②③解得k∈?-12?或-≤k<0.

2???x0<0?x0≥0,??

1??

即当k∈?-1,2?时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.

??1

-,0?时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点. 当k∈??2?

11??

-,0?∪?-1,?时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点. 故当k∈?2??2????Δ>0,11(iii)若?由②③解得-1

22?x0<0,?

11

-1,-?∪?0,?时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点,故即当k∈?2??2??

此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.

1

,+∞?∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;综上所述,当k∈(-∞,-1)∪? ?2?

11?1?

-,0?∪?-1,?时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈?-1,-?当k∈?2?2??2???1

0,?时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点. ∪??2?14.、[2014·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是________.

14.(-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2=4x.设直

??y=k(x+1),

线l:y=k(x+1),联立?2消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由Δ=(2k2-4)2

?y=4x,?

42

-4k<0,得k>1,解得k<-1或k>1.

20.[2014·江西卷] 如图1-2所示,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

(1)证明:动点D在定直线上.

(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. 图1-2 20.解:(1)依题意可设AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8.

y1

直线AO的方程为y=x,BD的方程为x=x2,

x1

y1x2?x2,解得交点D的坐标为?x1?. ?

y1x1x2-8y1注意到x1x2=-8及x2=4y,则有y===-2, 11

x24y11

因此D点在定直线y=-2上(x≠0). (2)依题意,切线l的斜率存在且不等于0.

设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0. 由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2. 故切线l的方程可写为y=ax-a2.

22

+a,2?,N2?-+a,-2?, 分别令y=2,y=-2,得N1,N2的坐标为N1??a??a?

2

2?2222?2??则|MN2|-|MN1|=?a-a?+4-?a+a?=8,

即|MN2|2-|MN1|2为定值8. 8. [2014·辽宁卷] 已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )

4

A.- B.-1

331C.- D.-

42

8.C [解析] 因为抛物线C:y2=2px的准线为x=

-pp

-,且点A(-2,3)在准线上,故=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的22

3-03

坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF==-. 4-2-2

22.、、[2014·全国卷] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与 y轴的交

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