概率论与数理统计 2003级
2003级《概率论与数理统计》期末考试试卷（ A）
专业 姓名 学号 考试日期：2004.12.19
题 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 号 得 分 说明：1. 本试卷共5页； 2. 答案必须写在该题后的横线上或括号中或写在该题下方空白处，不得写在 草稿纸中，否则该题答案无效.
一、 填空题（本题18分，每小题3分） 1.
A和B是随机事件，则P(A)?0.5,P(A?B)?0.2,则P(AB)?
0,7 .
2. 设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一 个是一等品的概率是 284/285 .
3. 随机变量X~N(2,4),?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,则P{?2?X?6}?
0.9544 .
4. 设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,5),Y~N(1,16)，Z?2X?Y?1则
Y与Z的相关系数为 -2/3
5. 设总体服从正态分布N(0,?)，X1,X2,?X9是一样本， 则
27(X12?X2)服从 F(2,7) 分布. 2222(X3?X4??X9)26. 设随机变量X服从二项分布，即X~B(n,p),且EX?3,p?1/7,则n? 21 .
二、选择题（本题10分，每小题2分）
1. 设总体X，其中总体均值?未知，X1,X2,X3是从该总体X抽取的一个样本，
在以下四个?的无偏估计中，最有效的为 D
1
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A
?1??131X1?X2?X35102B
?2??151X1?X2?X3 3124?3?C ?111111?4?X1?X2?X3 X1?X2?X3 D ?3623332. 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.3 1 0.5 2 0.2 其分布函数为F(x),则F(3)= C .
A. 0 B. 0.3 C. 1 D. 0.8
3. 甲乙两人下棋，每局甲胜的概率为0.4，乙胜的概率为0.6，。比赛可采用三局两胜制和五局三胜制，则采用 B 时,乙获胜的可能性更大？ A. 三局两胜制 B. 五局三胜制
C. 五局三胜制和三局两胜制都一样 D. 无法判断
4．X1,X2,?Xn是来自总体X的一个样本，X~N(0,?)，则?的最大似然估计量为 A .
21n1n22X A. B. X?i?i4ni?1ni?1n1n12Xi D. Xi2 C. ??n?1i?14(n?1)i?1 5. 若随机变量X,Y均服从标准正态分布，则 C 。
222A. X?Y服从正态分布 B. X?Y服从?分布
X2C. X,Y都服从?分布 D. 2服从F分布
Y222
2
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三、 (本题10分)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2% ，现从由A和B的
产品分别占60%和40%的产品中随机抽取一件，问 （1）抽到的这件产品为次品的概率是多少？
（2）如果抽到的产品为次品，则该次品属于 A厂生产的概率为多少？ 解：设B：“任意抽取一件，抽到次品”。 A1：“任取一件产品，抽到的是A厂生产的”
“任取一件产品，抽到的是B厂生产的”???????????2分 A2：
P(A1)?0.6,P(A2)?0.4,P(B|A1)?0.01,P(B|A2)?0.02 2分
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.6?0.01?0.4?0.02?0.014i?12P(A1)P(B|A1)P(A1|B)??0.006/0.014?3/7P(B)
四、（本题
15 分）设随机变量
???? 6分
(X,Y)的概率密度为
?ce?(x?y), 0?x?1,y?0 f(x,y)?? 其它?0, (1). 试确定常数c
(2) 求边缘概率密度fX(x),fY(y) （3）X,Y是否独立？为什么？ （4）求Z?max{X,Y}的分布函数。
????????解： （1）由
??????f(x,y)dxdy?1 即
??????(x?y)?bedxdy?1 得b?e 3分 e?1???e?(x?y)?e?x???edy, 0?x?1,e, 0?x?1 （2）fX(x)??e?1则fX(x)??e?1
0??0, 其它?0, 其它??1e?(x?y)?e?y, y?0??edx, y?0, fY(y)??e?1即：fY(y)??
0 其它?0, ?0, 其它?
3
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（3）?f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X,Y相互独立。
（4）Z=max{X,Y}的分布函数为FZ(z)?P{Z?z}?P{X?z,Y?z} =P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)
x?0?0, x?0?0, x??e?e?xedx, 0?x?1整理得： FX(x)???FX(x)??(1?e?x), 0?x?1
?0e?1?e?1 x?1? x?1?1, ?1, y?0?0, y?0?0, ?y FY(y)?? 整理得： F(y)??y?Y?yedy, y?0?1?e, y?0???0 z?0?0, ?e故：FZ(z)??(1?e?z)2, 0?z?1
?e?1?z z?1?1?e, 五、(本题 12分)设随机变量X具有以下分布律：
X pk 2 -2 0.1 -1 0.2 0 0.2 1 0.1 2 0.4 试求：（1）Y?X?1 的分布律及P{0?Y?4} （2）E(Y),D(Y)
解：(1) Y?X?1的可能取值为-1，0，3。
2P(Y??1)?P(X?0)?0.2 P(Y?0)?P(X?1)?P(X??1)?0.2?0.1?0.3
P(Y?3)?P(X?2)?P(X??2)?0.4?0.1?0.5 所以
Y P -1 0.2 0 0.3 3 0.5 P(0?X?4)?0.3?0.5?0.8
4