所以，当??≥3时，???2<2(??
??
111
???1
?2)<22(??
11
???2
?2)
2
11
所以，当??≥2时，
1
????
?2<0成立．
5?2??+12??
综上所述，当??≥2时，<
1????
?2<0成立．
方法二：??≥2时，因为????>0， 所以
1????
?2<0?
1????
<2?????>．
2
12
1
下面用数学归纳法证明：??≥2时，????>．
①当??＝2时，??2＝??(??1)＝ln(2??1+1)=ln(2×5+1)=ln1.8． 而??2=ln1.8>?ln1.8>ln√2?1.8>√2?1.82>2?3.24>2，
21
2
因为3.24>2，所以??2>2．可见??＝2，不等式成立． ②假设当??＝??(??≥2)时不等式成立，即????>2． 当??＝??+1时，????＝????+1＝??(????)＝ln(2????+1)． 因为????>2，??(??)＝ln(2??+1)是增函数， 所以????+1=ln(2????+1)>ln(2×2+1)=ln2． 要证????+1>，只需证明ln2>．
2
2
1
1
1
1
1
1
而ln2>?ln2>ln√2?2>√2?22>(√2)2?4>2，
2
1
因为4>2，所以ln2>2．所以????+1>2． 可见，??＝??+1时不等式成立． 由①②可知，当??≥2时，????>成立．
21
11
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解， （2）结合导数与单调性的关系即可求解函数?(??)的单调性， （3）结合导数与 单调性的关系及不等式的放缩法即可 证明； 法二：结合函数的性质及数学归纳法进行证明即可 【解答】
对??(??)＝ln(2??+??)求导，得??′(??)=2??+??． 因此??′(1)=2+??．又因为??(1)＝ln(2+??)，
试卷第21页，总23页
2
2
所以曲线??＝??(??)在点(1,???(1)处的切线方程为???ln(2+??)=即??=2+????+ln(2+??)?2+??． 由题意，ln(2+??)?
22+??
2
2
22+??
(???1)，
=ln3?．
3
2
显然??＝1，适合上式．
令??(??)=ln(2+??)?2+??(??>0)， 求导得??′(??)=2+??+(2+??)2>0， 因此??(??)为增函数：故??＝1是唯一解．
由（1）可知，??(??)＝ln(2??+1)?2??(??>0)，?(??)=ln(2??+1)?2??+1(??>0)， 因为??′(??)=
22??+1
2??
1
22
?2=?
4??2??+1
<0，
所以??(??)＝??(??)?2??(??>0)为减函数． 因为?(??)=2??+1?(2??+1)2=(2??+1)2>0， 所以?(??)=??(??)?1+2??(??>0)为增函数．
证明：由??1=5，????+1＝??(????)＝ln(2????+1)，易得????>0.
2
5?2??+12??
2??
2
2
4??
??
1
2??5
由（2）可知，??(??)＝??(??)?2??＝ln(2??+1)?2??在(0,?+∞)上为减函数． 因此，当??>0时，??(??)
令??＝?????1(??≥2)，得??(?????1)<2?????1，即????<2?????1． 因此，当??≥2时，????<2?????1<22?????2
5?2??+12??
2??5
．
??
1
下面证明：
1
????
?2<0．
2??2??+1
方法一：由（2）可知，?(??)=??(??)?因此，当??>0时，?(??)>?(0)＝0， 即??(??)>2??+1>0． 因此??(??)<2??+1， 即??(??)?2<2(???2)． 令??＝?????1(??≥2)，得??(??即???2<2(??
??
=ln(2??+1)?
2??2??+1
在(0,?+∞)上为增函数．
2??
11
111
1
???1
?2<2(??)
11
???1
?2)，
111
???1
?2)．
1
1
1
2??()5当??＝2时，???2=???2=??(??)?2=
??
2
1
1
?2=ln1.8?2．
1
试卷第22页，总23页
因为ln1.8>ln√3>ln√??=，
21
所以
1
ln1.8
?2<0，所以
1
1
??2
?2<0．
1
1
所以，当??≥3时，
????1
?2<(
2?????1
?2)<
12
2(
1?????2
?2)
2
???2(
11??2
?2)<0．
所以，当??≥2时，???2<0成立．
??
综上所述，当??≥2时，
5?2??+12??
??
1
方法二：??≥2时，因为????>0， 所以???2<0???<2?????>2．
??
??
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下面用数学归纳法证明：??≥2时，????>．
2
1
①当??＝2时，??2＝??(??1)＝ln(2??1+1)=ln(2×5+1)=ln1.8． 而??2=ln1.8>2?ln1.8>ln√2?1.8>√2?1.82>2?3.24>2， 因为3.24>2，所以??2>2．可见??＝2，不等式成立． ②假设当??＝??(??≥2)时不等式成立，即????>2． 当??＝??+1时，????＝????+1＝??(????)＝ln(2????+1)． 因为????>，??(??)＝ln(2??+1)是增函数，
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所以????+1=ln(2????+1)>ln(2×+1)=ln2．
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要证????+1>2，只需证明ln2>2．
而ln2>?ln2>ln√2?2>√2?22>(√2)2?4>2，
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因为4>2，所以ln2>．所以????+1>．
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可见，??＝??+1时不等式成立． 由①②可知，当??≥2时，????>2成立．
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