2019-2020学年山东省枣庄市高三(上)期末数学试卷

所以,当??≥3时,???2<2(??

??

111

???1

?2)<22(??

11

???2

?2)

2

11

所以,当??≥2时,

1

????

?2<0成立.

5?2??+12??

综上所述,当??≥2时,<

1????

?2<0成立.

方法二:??≥2时,因为????>0, 所以

1????

?2<0?

1????

<2?????>.

2

12

1

下面用数学归纳法证明:??≥2时,????>.

①当??=2时,??2=??(??1)=ln(2??1+1)=ln(2×5+1)=ln1.8. 而??2=ln1.8>?ln1.8>ln√2?1.8>√2?1.82>2?3.24>2,

21

2

因为3.24>2,所以??2>2.可见??=2,不等式成立. ②假设当??=??(??≥2)时不等式成立,即????>2. 当??=??+1时,????=????+1=??(????)=ln(2????+1). 因为????>2,??(??)=ln(2??+1)是增函数, 所以????+1=ln(2????+1)>ln(2×2+1)=ln2. 要证????+1>,只需证明ln2>.

2

2

1

1

1

1

1

1

而ln2>?ln2>ln√2?2>√2?22>(√2)2?4>2,

2

1

因为4>2,所以ln2>2.所以????+1>2. 可见,??=??+1时不等式成立. 由①②可知,当??≥2时,????>成立.

21

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【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】

(1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义即可求解, (2)结合导数与单调性的关系即可求解函数?(??)的单调性, (3)结合导数与 单调性的关系及不等式的放缩法即可 证明; 法二:结合函数的性质及数学归纳法进行证明即可 【解答】

对??(??)=ln(2??+??)求导,得??′(??)=2??+??. 因此??′(1)=2+??.又因为??(1)=ln(2+??),

试卷第21页,总23页

2

2

所以曲线??=??(??)在点(1,???(1)处的切线方程为???ln(2+??)=即??=2+????+ln(2+??)?2+??. 由题意,ln(2+??)?

22+??

2

2

22+??

(???1),

=ln3?.

3

2

显然??=1,适合上式.

令??(??)=ln(2+??)?2+??(??>0), 求导得??′(??)=2+??+(2+??)2>0, 因此??(??)为增函数:故??=1是唯一解.

由(1)可知,??(??)=ln(2??+1)?2??(??>0),?(??)=ln(2??+1)?2??+1(??>0), 因为??′(??)=

22??+1

2??

1

22

?2=?

4??2??+1

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