【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数(率)分布表；V8：频数(率)分布直方图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】(1)根据频率=频数÷总数可得答案；
(2)用样本中超过12000步(包含12000步)的频率之和乘以总人数可得答案； (3)画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：(1)8÷50=0.16，12÷50=0.24，50×0.2=10，50×0.04=2， 补全频数分布直方图如下：
(2)37800×(0.2+0.06+0.04)=11340，
答：估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有11340名；
(3)设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C， 20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y， 画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率为=．
23．(8分)如图，在△中，∠90°，3，4，以为直径作⊙O交于点D． (1)求线段的长度；
(2)点E是线段上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线与⊙O相切？请说明理由．
【考点】M5：圆周角定理；：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】(1)由勾股定理易求得的长；可连接，由圆周角定理知⊥，易知△∽△，可得关于、、的比例关系式，即可求出的长．
(2)当与⊙O相切时，由切线长定理知，则∠∠，那么∠A和∠就是等角的余角，由此可证得，即E是的中点．在证明时，可连接，证⊥即可．
【解答】解：(1)在△中，∵3，4，∠90°，∴5； 连接，∵为直径， ∴∠∠90°；
∵∠∠A，∠∠， ∴△∽△； ∴，∴；
(2)当点E是的中点时，与⊙O相切； 证明：连接， ∵是△的中线； ∴，
∴∠∠； ∵，
∴∠∠；
∴∠∠∠∠∠∠90°； ∴⊥，
∴与⊙O相切．
24．(10分)如图，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，过点交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若6，2，求的长．
【考点】：四边形综合题．菁优网版权所有
E作∥【分析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠∠，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明；
(2)连接，交于点O．由菱形的性质可知⊥，，接下来，证明△∽△，由相
2
似三角形的性质可证明?，于是可得到、、的数量关系；
(3)过点G作⊥，垂足为H．利用(2)的结论可求得4，然后再△中依据勾股定理可求得的长，然后再证明△∽△，利用相似三角形的性质可求得的长，最后依据﹣求解即可．
【解答】解：(1)证明：∵∥， ∴∠∠．
∵由翻折的性质可知：，，∠∠， ∴∠∠． ∴． ∴．
∴四边形为菱形．
2
(2)?．
理由：如图1所示：连接，交于点O．
∵四边形为菱形， ∴⊥，．
∵∠∠90°，∠∠， ∴△∽△．
2
∴，即?． ∵，，
2
∴?．
(3)如图2所示：过点G作⊥，垂足为H．
∵?，6，2，
2
∴20(6)，整理得：+6﹣40=0． 解得：4，﹣10(舍去)． ∵2，10， ∴4．
∵⊥，⊥， ∴∥．
2
∴△∽△． ∴，即=． ∴．
∴﹣4﹣=．
2
25．(10分)如图1，已知二次函数(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接、．
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(1)请直接写出二次函数的表达式； (2)判断△的形状，并说明理由；
(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
(4)如图2，若点N在线段上运动(不与点B、C重合)，过点N作∥，交于点M，当△面积最大时，求此时点N的坐标．
【考点】：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】(1)根据待定系数法即可求得；
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(2)根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得=20，2
=80，10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△是直角三角形．
(3)分别以A、C两点为圆心，长为半径画弧，与x轴交于三个点，由的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
(4)设点N的坐标为(n，0)，则2，过M点作⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得(2)，然后根据S△△﹣S△
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
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【解答】解：(1)∵二次函数的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)， ∴， 解得．
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∴抛物线表达式：﹣x4； (2)△是直角三角形．
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令0，则﹣x4=0， 解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为(﹣2，0)， 由已知可得，
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在△中=2+4=20，
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在△中=4+8=80， 又∵2+8=10，