图与网络分析

Ⅴ Ⅴ 此表示:任务:Ⅳ →Ⅰ→Ⅱ 任务:Ⅴ→Ⅲ

共两只船就可完成5批货物的运输任务。当然,解不唯一。

第四讲:最小费用最大流

一.带负权的最短路问题:

大家知道,狄克斯特洛法求最短路只适应于权wij≥0的情况,当网络中出现负权时,此法失效,如:

求v1到v3的最短路。

用Dijkstra标号法:给v1标号v1(0),min {2,3}=2, 所以v3(2)。终止。 答案:v1—v3,长度为2。事实上,v1—v2—v3长度为1。 ? 此法失败。 下面通过例子来说明带负权的网络的最短路求法:逐次逼近法:

v5(6)(3) 4 v2(2)

2 -2 -3 3 v3(1)(0) 4 5 0) v1(6 v6(6)

-3 4 2 -1 v4(-3) 7 v7(4)

图8-54 1.给v1标号v1(0)。画圈。

2。求min{k12, k13, (k14)}=-3. 给v4标号v4(-3)。(v1,v4)画粗线。画第二个圈。

v23 -2 v1(0) 2 v3(2)

v8(10) 13

3。求min{k12, k13, (k43), k47}=1, 给v3标号v3(1)。画第三个圈。

4。求min{(k12), k36, k47}={2,4,7}=2, 给v2标号v2(2)。画第四个圈。(注意:此时大圈时要留出出线(v2,v3))。

5.求 min{k25, (k23), ,k47}=min{6,0,7,4}=0, 此时,将v3的标号修改成v3(0),且以较小标号为准。(后标号较小,修改,大,不修改)。画第五个圈,此时,因(v2,v3)已考察,划入内。

6.求min{(k25), (k36)}=min{6,6}=6, 给v5,v6都标号v5(6),v6(6)。画第六个圈。

7.求min{(k65), k68}=min{3,10}=3, 给v5重新标号v5(3)。画第七个圈。 8.求min{(k68)}=10, 给v8标号v8(10)。画第八个圈。

9.求min{k87, k76,k74)}=min{9,6, 11}=6, 均大于现有的标号数,已没有改动的必要。完毕。

从v8倒序找最短路线:v1—v4—v7—v6—v8。距离:10。

§5 最小费用流的问题

前两节主要讲了两个问题:最短路问题和最大流问题。下面介绍网络中二者的结合问题:最小费用流的问题。

问题的提出是这样的:在一个关于流的网络中,人们不仅需要流达到一定的数量,(甚至达到最大,即最大流)而且每一个流量要有一定的费用,流所走的路线不一样,单位费用不一样。同样数量的流量,可能走的路线不一样,总的费用不一样。从而在限定网络流的基础上,让流沿那些边走,能使总的费用最小(这里的最小费用问题又看成最短路问题)。

特别的,当最大流不惟一时,在所有最大流中求一个流f,使总费用最低。

用规划语言可以这样描述:若给定容量网络G=(V,E,C),除给每边((vi,vj)∈E)上的容量(cij∈C)外,还给流量的费用dij≥0,记为

G=(V,E,C,D)

若给定G的一个可行流f={fij},在总的流量W(f)=v(常数)下使 mind(f)=

W(f)?v(vi,vj)?E?dijfij

(0)求最费用最大流的基本思想是:从零流f={0}={fij}开始,以费用作为边的长

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度,用最短路方法,求出可增广链,调整流量,使之流逐步达到要求的数量。

下通过例子来说明。

例:在图8-55所示的网络中,求流量v为10的最小费用流。边上括号内为(cij,dij)。 解: v1 (7,1) (10,4) vt v(2,6) s (5,2) (8,1) (4,2) v3(10,3) v2

图 (a)

先假设此网络是空架子,即0-流。 v1 (7,0,1) (10,0,4)

vt vs (2,0,6) (5,0,2) (8,0,1) (4,0,2) v3v (10,0,3) 2

然后,逐步调整流量到10,在什么路线上增加流量?在费用最小的路线上调流量。为简单,把费用网络先拿出来。借费用最短路作为可行流的可增广链,从而在保证流量的同时,又保证费用最低。看下图:

v1 1 4

vt vs 2 6

2 1 3 v3v2

图 (b)L(f(0))

在0流(b)上找最短路。

v1(3) 1 4

2 6 2 v s1 (0)

3 v3(4) v2(1)

vt(4)

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在此可增广链上,取容量最小的值min{8,5,7}=5, 调整量为5。调整后图为

v1 (7,5) (10,0)

vt vs(5,5) (2,0) (4,0) (8,5) (10,0) v3v2

图 (c)f此时,网络流量为W(f(1)(1)

(1))=5?10,此流的费用为d(f)=5×1+5×2+5×1=20。

返回到费用网络中,继续找最短路,进而继续调整。在下面流量的调整中,注意到图(c)有些边的流量已饱和,只能降低,不能再升,如(v2,v1)。而有些边可降,可升。如 (v1,vt)。下次调整为了表达上面的意思,我们在费用流网络中,可升、可降的边用两个箭头表示,如下图:

4

vs 1 -1

v1 -2 -1 1 6 2 vt

v23 v3(1) 图 (d ) L(f)

下用逐次逼近法求vs到vt的费用最短路。

4 v s(0) 1 -1

v1(4) 1 -2 6 -1 vt2 3 (5) v3v2(1) (1)(4) 图(d)L(f1 标v(0)○,画第一个圈。 s)

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