概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

到家时间 乘地铁到 0.10 家的概率 乘汽车到 0.30 家的概率 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家的,试求他是乘地铁回家的概率。

解:设A=“乘地铁”,B=“乘汽车”,C=“5:45~5:49到家”,由题意,AB=φ,A∪B=S 已知:P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有

0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只,其中10只一等品;第二箱30只,其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。

解:设Bi表示“第i次取到一等品” i=1,2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2,显然A1∪A2=S (1)P(B1)?A1A2=φ

1101182?????0.4(B1= A1B +A2B由全概率公式解)。 2502305110911817?P(B1B2)2504923029(2)P(B2|B1)???0.4857

2P(B1)5 (先用条件概率定义,再求P (B1B2)时,由全概率公式解) 32.[二十六(2)] 如图1,2,3,4,5

1 L 3 2 R

表示继电器接点,假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独立,求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)-P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)-P (A1A2 A3 A4A5)

又由于A1,A2, A3, A4,A5互相独立。 故

P (A)=p2+ p3+ p2+ p3-[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

4

5

+[ p5 + p5+ p5+ p5]-p5=2 p2+ 3p3-5p4 +2 p5

[二十六(1)]设有4个独立工作的元件1,2,3,4。它们的可靠性分别为P1,P2,P3,P4,将它们按图(1)的方式联接,求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作,i=1,2,3,4,

2 1 4 3 A表示系统正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥

(加法公式)

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)-P (A1A2A3 A4)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)-P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4-P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4独立)

34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币,(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少?

解:设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式,有

m1rn()??1rm?n2m?nm1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)? (条件概率定义与乘法公式)

35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解:高Hi表示飞机被i人击中,i=1,2,3。B1,B2,B2分别表示甲、乙、丙击中飞机

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3,三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三种情况互斥 H3?B2B2B3

又 B1,B2,B2独立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

又因:

A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥

故由全概率公式,有

P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%(这一事件记为A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05,现从中随机地独立地取三件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)(这里设物品件数很多,取出第一件以后不影响取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相独立地)

∵ B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥

由全概率公式,有 ∴

P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8?(0.98)3P(A1|B)????0.8731P(B)P(B)0.8624

P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15?(0.9)3P(A2|B)????0.1268

P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05?(0.1)3P(A3|B)????0.0001P(B)P(B)0.862437.[三十四] 将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为α,而输出为其它一字母的概率都是(1-α)/2。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。)

解:设D表示输出信号为ABCA,B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA,BBBB,CCCC,则B1、B2、B3为一完备事件组,且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A,其余类推,依题意有

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