题2-45 图
2-46 z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，在界面两边距界面为h的对称位置分别放置电量分别为q1和q2的点电荷。分别计算两个点电荷所受得力。
解：利用镜像法，计算z>0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z<0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为 ?1?14??1(q1q'2?) r1r2式中r1为q1到场点的距离，r2为q1的镜像位置的电荷q'2到场点的距离；下半空间的电位可表示为 ?2?14??2(q2q'1?) r3r4式中r3为q2到场点的距离，r4为q2的镜像位置的电荷q'1到场点的距离。利用边界条件，
?1??2和D1n?D1n得
ss (q1?q'2)/?1?(q'1?q2)/?2 (q1?q'2)?(q'1?q2)
由此得 q'1? q'2?2?2???2q1?1q2
?1??2?1??22?1???2q2?1q1
?1??2?1??2q1和q2所受的斥力分别为 q1q'2q'1q2F? F1? 216??1h216??2h2(a) (b) (c)
题2-46图
2-47.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，求两导体球壳之间的电容。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 Er?bq 4??r2两导体球壳之间的电压为
q11(?) ?4??abaq4??ab两导体球壳之间的电容为 C? ?Vb?a V?Erdr?
2-48 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为?1、?2，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，Dr?q 24?r两导体球壳之间的电场为
?q;a?r?c2??4??1r Er??
q?;c?r?b2??4??2r两导体球壳之间的电压为
q1111?(?) (?)?4??2cb4??1acaq4??两导体球壳之间的电容为 C? 111111V(?)?(?)?1ac?2cb V?Erdr?
2-49 面积为A，间距为d的导电平板之间放置介电常数为?，厚度为t的介质板，如图a、b所示。分别计算两种情况下导电平板之间的电容。
(a) (b) 题图
bq
题2-49图 Eet?E0(d?t)?V
?Ee??0E0 （边界条件） 求解以上两式得
解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系
???rVVE?； 0
t??r(d?t)t??r(d?t)根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体表面上的电荷面密度为
?V ?s??
t??r(d?t)?A?AS电容为 C?s?
Vt??r(d?t) Ee?(b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为
E?V/d
根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 ?0s???0V/d
在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 ?es???V/d 电容为 C??0sA0??esAeV??0A(a?t)ad??Atad
02-50 两块沿z方向无限延伸的导电平板夹角为??30，与??a和??b的圆柱面相截，如图所示。一块板电位为V，另一块电位为0。忽略边缘效应，求两块板间的电位分布，电场，以及单位长度的电容。
题2-50图
解：在圆柱坐标系中，电位只和?有关，在两块导电平板之间
1?2????2?0 2???2此方程的通解为
?c1??c0 ?（?）利用边界条件，?(???/6)?V，?(??0)?0得 ?(?)?电场强度为
6V??
?1??6V????? E??????? ?????板上单位长度的电量为
bbq???sd???aa6V??d??6V?lnb a板上单位长度的电容为 C?q6b?ln V?a2-51 真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。 解：用两种方法求解。 1） 用电位求电场能量 We?11?q??2C?2??0aV2 222） 用电场强度求电场能量
导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为 Er?电场能量为
aV r2?11aV2222 We?????0EdV??0?(2)4?rdr?2??0aV
22arV
2-52 .圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1、?2的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。 解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间 Dr?q 24?r从而可求得内外导体之间的电压为