2-31 .半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷在该球形空腔中心，如图所示，如果导体球上的总电量为0，求导体球腔中及球外的电场强度。
?解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为E1???qR1，R1为从空腔中24??0R1心指向该空腔中场点的位置矢量。
（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。
（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为 Er?q4??0r2 r为导体球心到场点的距离。
题图 题图
2-32 .同轴圆柱形电容器内外半径分别为a、b，导体之间一半填充介电常数为?1的介质，另一半填充介电常数为?2的介质。当电压为V时，求电容器中的电场和电荷分布。 解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r的圆柱面，利用高斯定理
?? ??D?dS?q
S在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为 2?rl(?1E1r??2E2r)?q 由介质边界条件E1r?E2r?Er，可得 Er?q
2?l(?1??2)rb内外导体之间的电压为 V?Erdr?a?q2?l(?1??2)lnb a2?l(?1??2)V；从而得
blnaV Er?
brlna由此得q? 电荷分布为
??1V??2V;r?a;r?a??bb?aln?aln??aa；?2介质侧?s?? ?1介质侧?s???1V?2V????;r?b;r?bbb?bln?bln??aa??
2-33 z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，当 (1)电量为q的点电荷放在介质分界面上；
(2)电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面上。 求电场强度。
解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面上
以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理
?? ??D?dS?q
S设上、下半球面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有
2 2?r(D1n?D2n)=q
??根据边界条件E1t?E2t，因此
2 2?r(?1E1t??2E2t)?q
Er?E1r?E2r?q 22?(?1??2)r
（2）电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面上
以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理
?? ??D?dS??l
S??设上、下半柱面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别
相等，有
?r(D1n?D2n)=?l 根据边界条件E1t?E2t，因此 ?r(?1E1t??2E2t)??l Er?E1r?E2r??l
?(?1??2)r
2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为?厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。
题图
Eet?E0(d?t)?V
?Ee??0E0 （边界条件） 求解以上两式得
解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系
?????rVV； E0?
t??r(d?t)t??r(d?t)根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体表面上的电荷面密度为
?V ?s??
t??r(d?t) Ee? (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 E?V/d
根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 ?0s???0V/d
在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 ?es???V/d
2-35 在内外半径分别为a和b之间的圆柱形区域内无电荷，在半径分别为a和b的圆柱面上电位分别为V和0。求该圆柱形区域内的电位和电场。
解：由电荷分布可知，电位仅是?的函数，电位满足的方程为
1dd?(?)?0 ?d?d?解微分方程得
?(?)?c1ln??c2 利用边界条件
?(a)?c1lna?c2?V
?(b)?c1lnb?c2?o
VVlnb 得 c1?， c2??aalnlnbb因此
Vbln b?lna2-36在半径分别为a和b的两同轴导电圆筒围成的区域内，电荷分布为??A/r，A为常数，若介质介电常数为?，内导体电位为V，外导体电位为0。求两导体间的电位分布。
?(?)?解 由电荷分布可知，电位仅是?的函数，电位满足的方程为
1dd?A(r)?? rdrdr?r解微分方程得
dd?A(r)?? drdr?d?A(r)??r?c1 dr?d?Ac???1 dr?rA ?(r)??r?c1lnr?c2
?利用边界条件 ?(a)??A?a?c1lna?c2?V
?(b)??得
A?b?c1lnb?c2?0
V?c1?A?(b?a)， c2?AV?b?A?(b?a)lnb
b?lnaA(b?r)??blnaV?A?(r)??ln(b?a)baln?b a2-37 两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构成夹角为?的角形区域，求该角形区域中的电位分布。
??V c
? b
??0 a 题图 题 图
解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是?的函数，在导电平板之间电位方程为
1d2? ????0
?d?2其通解为 ??c1??c0
由边界条件?(??0)?0;?(???)?V，得
V ???
?2
2-38 .由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。
解：用分离变量法，可得电位的通解为 ?(x,y,z)?n,m?1??Amnsinm?n?xsiny(e??z?Bmne?z) ac