第2章习题
2-1.已知真空中有四个点电荷q1?1C，q2?2C，q3?4C，q4?8C，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
??????z??z??z??z?;r2??y?;r3?x?;r4?y? 解：r1??x?3q4r?1q2r?2q3r?4??6y??15z?q1r3x (2?2?2?2)?4??0r1r2r3r44??082-2.已知线电荷密度为?l的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。
E??1
题2-2图
?????解：(a) 由对称性E?E1?E2?E3?E4?0
????(b) 由对称性E?E1?E2?E3?0
(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为
??? Ea?E1?E2?? Eb??l?l??y?)?(x??y?)}??? {(xy4??0a2??0a 半径为a的半圆环线电荷产生的电场为
?l? y2??0a??? 总电场为E?Ea?Eb?0
2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为?s，求轴线上的电场强度。 解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ad?的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为?l??sad?,对?积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为
???sar?d??s??s??? ?(?sin?y?cos?x)d???y E???2??0a2??00??00 题2-3图 题2-4图
2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为?s，求空间任一点上的电场强度。 解: 在平板上x'处取宽度为dx'的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为
?l??sdx'，在点(x,y)处产生的电场为
? dE(x,y)? 其中
?dx'?s?
2??0?1(x?x')?y对x'积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点(x,y)处产生的电场为
??s(x?a/2)2?y2x?a/2x?a/2?ln? E(x,y)?{x?y2(arctg?arctg)} 224??0yy(x?a/2)?y2-5.已知真空中电荷分布为
????(x?x')2?y2；???yy?(x?x')x22
?r2?;r?a ???a2
??0;r?a ?s?b;r?a
r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。
解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理
??qE ???dS?
s?0??2等式左边为 ??E?dS?4?rEr
s?4?r5;r?a?2?5a半径为 r 的球面内的电量为q?? 32a?5ba?4?;r?a?5?因此，电场强度为
?r3;r?a??5?0a2 Er??3 2a?5ba?;r?a2??5?0r
2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为
r??;r?a ???a
??0;r?ar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。
解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理
??q ??E?dS?
s?0??等式左边为 ??E?dS?2?rEr
s?2?r3rr;r?a?2?r2?3adr??半径为 r 、高为1的圆柱面内的电量为q???2?rdr?? 22?aa00?;r?a??3因此，电场强度为
?r2;r?a??3a? Er??20
a?;r?a?3?r?0
2-7. 在直角坐标系中电荷分布为
?(x,y,z)????0;x?a
?0;x?a求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，
取一对称的方矩形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为 q???2xS?0;x?a
?2aS?0;x?a??0x;x?a???因此，电场强度为 Ex??0
?0a?;x?a???0
2-8. 在直角坐标系中电荷分布为
?(x,y,z)???x;x?a
?0;x?a求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的矩形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为
?x2S;x?a q?2??Sdx?2?xSdx??2
00?aS;x?axx??x2?x2;0?x?a;?a?x?0????2?0?2?0因此，电场强度为 Ex?? Ex??22?aa?0??;x??a;x?a??2?2?0?0?
2-9.在电荷密度为?（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c 解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为 ???R Ea? 3?0完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为 ???r Eb?? 3?0所以，空腔中某点的电场为 ????????c(R?r)? E?Ea?Eb? 3?03?0?c为从球心指向空腔中心的矢量。 题2-9图 2-10.已知电场分布为 ?2x?x;?b/2?x?b/2???b? E?? x;x?b/2???x;x?b/2??求电荷分布。 ?解:由??E??/?0得