【例1】设随机变量X的概率密度为
?22?1?x,?1?x?1,f(x)????其它,?0,求X的分布函数。
【解】注意到概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,
其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).
①当
x??1时，
x??xF(x)?f(t)dt?0dt?0;????45
2005 He Xianzhi
合肥工业大学精品课程概率论与数理统计②当
?1?x?1x?1时，
x22F(x)??f(t)dt??0dt??1?tdt??1????x112?1?x?arcsinx?;??2[积分公
式：
?x2ax2a?xdx?a?x?arcsin?C.22a222合肥工业大学精品课程概率论与数理统计462005 He Xianzhi
③当
x?1x时，
?11x22F(x)??f(t)dt??0dt??1?tdt??0dt?1;??????1112[积分：?1?tdt????1.2?1积一半。]
故分布函数为：
21为单位圆面
合肥工业大学精品课程概率论与数理统计472005 He Xianzhi
x??1,?0,?x112F(x)??1?x?arcsinx?,?1?x?1,?2??x?1.?1,由概率密度计算分布函数的方法
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①用概率密度取值非零的定义区间将整个x轴分成若干个子区间；计算分布函数的方法
②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率
密度]分段积分。
熟练各种积分的计算是基础而重要的。
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