【例7】设一靶子为半径为2米的圆盘,射击(假设射击均能中靶)靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比,以X表示弹着点与圆心的距离,求随机变量X的分布函数.
【解】只能按分布函数定义来求.靶子弹着点1、当x<0时,{X≤x}为不可能事件(因为弹着点与圆心的距离不可能为负),故
XF(x)?P{X?x}?P(?)?0;2、当0 ≤x <2时,由题意得射击2均能F(x)?P{X?x}?k?x,1取x=2以确定k的值:1?P{X?2}?k?2?4?k,k?,4?2中靶合肥工业大学精品课程概率论与数理统计372005 He Xianzhi
故
3、当x≥2时,{X≤x}为必然事件,故
xF(x)?P{X?x}?;42F(x)?P{X?x}?P(S)?1;综上得X的分布函数为:F(x)x?0,?0,2??xF(x)??,0?x?2,4?1,x?2.??是离散型随机变量!
合肥工业大学精品课程概率论与数理统计1O12x2005 He Xianzhi
显然,这里的分布函数是一条连续曲线,表明X不再
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此外,易验证:对任意实数x,均有
xF(x)????f(t)dt其中非负函数
?t?,0?t?2,f(t)??2??0,其它.这种随机变量的分布函数F(x)恰为一个非负函数f(x)在(-∞,x]上的积分.称这种随机变量为连续型随机变量.
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