∵M分AB的比为3，∴|AM|3=，则由题设条件得 |AB|4|AN|2|AN|14|AN|=，∴ =，∴=2。 23|AC||AC|3|AC|0?2?6?x??4,??N1?2由定比分点公式得?
?y?0?2?(?4)??8.N?1?23?∴N(4,-
8)。 3平面向量与三角形“四心”的应用问题
三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．
1 课本原题
例１、已知向量OPP?1,OP2,OP3满足条件O1O2?P，O?P30|OP12P3是正三角形． 1|?|OP2|?|OP3|?1，求证：△PP分析 对于本题中的条件|OP容易想到，点O是△PP12P3的1|?|OP2|?|OP3|?1，
O是△PP外心，而另一个条件OP12P3的重心． 1?OP2?OP3?0表明，点
故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．
显然，本题中的条件|OP1|?|OP2|?|OP3|?1可改为|OP1|?|OP2|?|OP3|．
2 高考原题
例２、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA??(
ABACP的轨迹一定通过△ABC的（ ）． ?)???[0??,则).|AB||AC|B．内心
C．重心
D．垂心
A．外心
分析 已知等式即AP??(ABACABAC，显然?)，设AE?,AF?|AB||AC||AB||AC|AE,AF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为
?ABC的平分线，选B．
例３、?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = ．
分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式AHBC?0，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有(OH?OA)(OC?OB)?0，将已知代
2入
2，有[m(OA?OB?OC)?OA](OC?OB)?0，即
由O是外心，得(m?1)OABC?0，由于?ABCm(OC?OB)?(m?1)OABC?0，
是任意三角形，则OABC不恒为０，故只有m?1恒成立．
或者，过点O作OM?BC与M，则M是BC的中点，有OM?1(OB?OC)；2H是垂心，则AH?BC，故AH与OM共线，设AH?kOM，则
kOH?OA?AH?OA?(OB?OC)2，故
可，
又得有
AOH?m(OA?OB?OC)，
kk(m?1)OA?(m?)OB?(m?)OC?022km?1?m??0，得m?1．
2TOFG根据已知式子OH?m(OA?OB?OC)中的
HBEDC 图１ OA?OB?OC部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G，
O是平面内任一点，均有OG?OA?OB?OC，由题意，题目显然叙述的是一个
3一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到
HG?2GO，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，BF,OT均与三角形的边AC垂直，则BF//OT；其二，点G是三角形的中线BT的三等分点．此时，会先猜想△BHG∽△TOG，但现在缺少一个关键的条件，即BH?2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．
本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是OH?3OG．
例４、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足． OAOB?OBOC?OCOA，则点O是?ABC的（ ）
A．三个内角的角平分线的交点 交点
C．三条中线的交点 分
析
移
项
后
不
难
得
D．三条高的交点 出
，
A B．三条边的垂直平分线的
OBCA?OCAB?OACB?0，点O是?ABC的垂心，选D．
P B 2223 推广应用题
例５ 在△ABC内求一点P，使AP?BP?CP最小．
图 C 分析 如图２，构造向量解决．取CA?a,CB?b为基向量，设CP?x，有
AP?x?a,BP?x?b．
于
是
，
22112AP?BP?CP?(x?a)?(x?b)?x?3[x?(a?b)]?a?b?(a?b)2．
3311当x?(a?b)时，AP2?BP2?CP2最小，此时，即OP?(OA?OB?OC)，
3322222则点P为△ABC的重心．
例６
2|OA|?已知O为△ABC所在平面内一点，满足
2|O?B|2|B2?C||?CA|22O|为△ABC，则 心． ?|OC|A的B|2分析 将|BC|2?(OC?OB)2?OC?OB?2OCOB，|CA|2,|AB|2也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O为垂心．
例
７
已
知
O为△ABC的外心，求证：
OsAin?BOCsO?iBn CA．O?OCAOB分析 构造坐标系证明．如图３，以A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上方．S△AOB?1x2y0，直线BC的方程是22 y C(x3,y3) O(x0,y0) y3x?(2x?)x?y3，x3?0y由于点A与点O必在直
线BC的同侧，且?x2y3?0，因此有
A 图３ B(x2,y2) x x0y?3S△BOC?x3?y0，得x2?y00x?2y
1(x3y0?x2y3?x0y3?x2y0)． 2直线AC的方程是y3x?x3y?0，由于点(1,0)与点O必在直线AC的同侧，且
1y3?1?x3?0?0，因此有x0y3?x3y0?0，得S△AOC?(x0y3?x3y0)．
2于是，容易验证，OA?S△BOC?OB?S△AOC?OC?S△AOB?0，又
S△B1?||OC|si，nB OCOC|OB211S△BOA?|OB||OA|sinAOB，S△AOC?|OA||OC|sinAOC，又|OA||O?B||OC?|22，
则所证成立．