通项公式，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】
??7a1?21d?77解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，则?2
??a1?a1?60d???a1?10d??a1?5,?an?2n?3 解得?d?2,?（Ⅱ）由
1111?an?1(n?2,n?N*)． ??an，??bnbn?1bn?1bn当n?2时，
?11?11?11??11?1??????L?????????an?1?an?2?L?a1? bn?bnbn?1??bn?1bn?2?b1?b2b1?b1?(n?1)(n?2?5)?3?n(n?2)．
对b1?
1
也适合， 3
?1111??n(n?2)(n?N)，?bn???． ??bn2?nn?2?1?311?3n2?5n? ????2?2n?1n?2?4(n?1)(n?2)1?11111??Tn??1????L????2?324nn?2?【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
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（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？
（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用?表示所选4人中青春组的人数，试写出?的分布列，并求出?的数学期望．
n(ad?bc)2附：K?；其中n?a?b?c?d
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2独立性检验临界表：
P?K2?k0? K
0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 【答案】（Ⅰ）没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）
7；10（Ⅲ）分布列详见解析，数学期望为
8. 5【解析】（Ⅰ）依题意作出列联表，由列联表计算出卡方，再跟参考数据比较，即可得出结论；
（Ⅱ）根据古典概型的概率公式计算可得；
（Ⅲ）由样本数据得到抽取1名学生是青春组学生的概率为
2，则?服从二项分布5?2?B?4,?，显然?的取值为0，1，2，3，4，再列出分布列，即可求出数学期望； ?5?【详解】
解：（Ⅰ）作出2?2列联表： 男生 青春组 7 风华组 6 合计 13 第 14 页 共 22 页
女生 合计
5 12 12 18 17 30 n(ad?bc)2?1.83， 由列联表数据代入公式得K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2因为1.83?2.706，
故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．
C327（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则P(A)?1?2?．
C510（Ⅲ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为
1222?，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，3055又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是?服从二项分布B?4,??2??． 5?kk4?2?显然?的取值为0，1，2，3，4．且P(??k)?C???5?所以得分布列为：
?2??1???5?4?k，k?0,1,2,3,4．
? 0 1 2 3 4 P 81 625216 625216 62596 62516 625
数学期望E??4?【点睛】
本题考查独立性检验，古典概型的概率计算以及二项分布及其分布列，属于中档题. 19．如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将VACD折起，使得点D在平面ABC第 15 页 共 22 页
28? 55内的射影恰好落在边AB上．
（Ⅰ）求证：平面ABD?平面BCD；
AB?2时，求二面角D?AC?B的余弦值． AD1【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
4（Ⅱ）当
【解析】（Ⅰ）设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE，推导出DE?BC，
AB?BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC?AD，AD?平面BCD，由此能证明
平面ABD?平面BCD．
（Ⅱ）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D?AC?B的余弦值． 【详解】
解：（Ⅰ）设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE，则DE?平面ABC，因为
BC?平面ABC，
?DE?BC．
Q四边形ABCD是矩形，?AB?BC，?BC?平面ABD，?BC?AD．
又AD?CD，CD?平面BCD，BC?平面BCD，CD?BC?C 所以AD?平面BCD， 而AD?平面ABD，
?平面ABD?平面BCD．
（Ⅱ）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD?a，则AB?2a，?A(0,2a,0)，C(a,0,0)． 由（Ⅰ）知AD?BD，又
AB?2，??DBA?30?，?DAB?60?， AD13a，BE?AB?AE?a，22第 16 页 共 22 页
?AE?AD?cos?DAB?