一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）
?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分
?a0aft(x)dx（ ）
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.
?D?三角形ACD面积.
（3）在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?B?y''?'y'?'4y?'4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
（6）设函数f连续，若F(u,v)???f(x2?y2)x2?y2dxdy，其中区域D?Fuv为图中阴影部分，则
?u? Duv?A?vf(u2) ?B?vuf(u2)
?C?vf(u)
?D?vuf(u)
（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
（8）设A???12?21?，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） ?? - 29 -
）
??21??A???.
?1?2?
?2?1??B???.
??12??1?2??.
??21?1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?C???21??. ?12?
?D??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?0?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??23?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限lim
(16)（本题满分10分）
??sinx?sin?sinx???sinx. x?0x4?dxx?x(t)?2?2te?x?0?y??2x(t)设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中是初值问题的解.求. dtt?2?xy??ln(1?u)du??xt?0?00??
(17)（本题满分9分）求积分
(18)（本题满分11分）
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.
- 30 -
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
?baf(x)dx?(2)?f()(?b a)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明至少存在一点
23??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值.
（22）（本题满分12分）
?2a1?2a2a设矩阵A????a2?（1）求证A??n?1?an；
???，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,11??2a?n?n,xn?，B??1,0,T,0?，
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3， （1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求PAP.
?1
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当x?0时，与x等价的无穷小量是 （A）1?ex? （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
1?x- 31 -
(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e????? （A）0 （B）1 （C）? （D）
22（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??x0f(t)dt，则下列结论正确的是：
（A）F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44
（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ] （5）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ]
（6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] （A）
(x,y)??0,0?lim?f(x,y)?f(0,0)??0.
（B）limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy- 32 -